Encontrar inteiros x e y, tais que:
93 x+81 y=3

Passo 1

Beleza, o enunciado manda: “Encontrar inteiros 93x + 81y = 3 e tais que
Isso é um problema de Equação Diofantina Linear (ou combinação linear) – a ideia é achar o máximo divisor comum (gcd) de 93 e 81, usar o Algoritmo de Euclides estendido pra achar uma solução e depois escrever a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos achar 31x + 27y = 1 .
Quando o resto chega a zero, o divisor anterior é o gcd: .
Como o lado direito da equação é 3, que é justamente o gcd, a equação tem solução. A gente pode simplificar dividindo tudo por 3:

Passo 3

Agora aplicamos o Algoritmo de Euclides estendido pra achar uma solução de
31x + 27y = 1
Repetindo a divisão mas guardando as contas pra “voltar” depois:
  1. x0 = 7, y0 = -8
O gcd aqui é 1, e voltamos agora substituindo pra escrever 1 como combinação de 31 e 27:
  • Da linha 3: .
  • Mas , então
  • E , então
Isso nos dá uma solução particular:
para a equação .

Passo 4

Voltando à equação original, a gente não precisa multiplicar nada porque já dividimos por 3 antes. Então essa mesma 31x + 27y = 1 Longrightarrow 93x + 81y = 3 serve pra
x = x0 + bgcd(a,b),t, y = y0 - agcd(a,b),t,
E a solução geral de uma equação diofantina x = 7 + 813,t = 7 + 27t, y = -8 - 933,t = -8 - 31t é
com . Aqui , , , então

Resposta

Uma solução particular é
boxedx = 7 + 27t, y = -8 - 31t, tinZ ,
e a solução geral é

Exercícios relacionados