Encontrar inteiros
e
, tais que:
Passo 1
Beleza, o enunciado manda: “Encontrar inteiros
e
tais que
Isso é um problema de Equação Diofantina Linear (ou combinação linear) – a ideia é achar o máximo divisor comum (gcd) de 93 e 81, usar o Algoritmo de Euclides estendido pra achar uma solução e depois escrever a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
.
Quando o resto chega a zero, o divisor anterior é o gcd:
.
Como o lado direito da equação é 3, que é justamente o gcd, a equação tem solução. A gente pode simplificar dividindo tudo por 3:
Como o lado direito da equação é 3, que é justamente o gcd, a equação tem solução. A gente pode simplificar dividindo tudo por 3:
Passo 3
Agora aplicamos o Algoritmo de Euclides estendido pra achar uma solução de
Repetindo a divisão mas guardando as contas pra “voltar” depois:
O gcd aqui é 1, e voltamos agora substituindo pra escrever 1 como combinação de 31 e 27:
- Da linha 3:
. - Mas
, então
- E
, então
Isso nos dá uma solução particular:
para a equação
.
Passo 4
Voltando à equação original, a gente não precisa multiplicar nada porque já dividimos por 3 antes. Então essa mesma
serve pra
E a solução geral de uma equação diofantina
é
com
. Aqui
,
,
, então
Resposta
Uma solução particular é
,
e a solução geral é
e a solução geral é