Resolva a congruência:
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente “Resolver a congruência
Isso faz parte de congruências lineares, onde a gente vai usar o cálculo de MDC (máximo divisor comum), divisão de congruência pelo MDC e como encontrar todas as soluções num certo módulo.
Passo 2
Primeiro a gente lembra: uma congruência do tipo
tem solução só se o
dividir o
. Aqui
,
e
. Vamos calcular o MDC:
Para achar o
, podemos fazer a decomposição ou usar o algoritmo de Euclides:
12 dividido por 4 dá resto 0, então .
12 dividido por 4 dá resto 0, então
Passo 3
Agora, precisamos ver se esse MDC (4) divide o
(20).
20 dividido por 4 dá exatamente 5, então beleza, 4 divide 20. Isso significa que a congruência tem solução.
20 dividido por 4 dá exatamente 5, então beleza, 4 divide 20. Isso significa que a congruência tem solução.
Quando o
divide
, a gente pode simplificar a congruência dividindo tudo por
:
Aqui fica
Passo 4
A congruência
é bem direta: a gente sabe que 5 é congruente a 2 módulo 3 (porque
é múltiplo de 3). Então
Isso significa que todas as soluções têm a forma
para algum inteiro
.
Passo 5
Porém, como a gente quer as soluções “mod 12” originais, e o número de soluções distintas é exatamente
, basta pegar os quatro valores obtidos para
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses cobrem todas as classes de equivalência módulo 12.
Resposta
As soluções da congruência
são