Resolva a congruência:
4 x equiv 20 (bmod 12)

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente “Resolver a congruência
4x equiv 20 pmod12
Isso faz parte de congruências lineares, onde a gente vai usar o cálculo de MDC (máximo divisor comum), divisão de congruência pelo MDC e como encontrar todas as soluções num certo módulo.

Passo 2

Primeiro a gente lembra: uma congruência do tipo
ax equiv b pmodn
tem solução só se o gcd(4,12) dividir o . Aqui , e . Vamos calcular o MDC:
Para achar o , podemos fazer a decomposição ou usar o algoritmo de Euclides:
12 dividido por 4 dá resto 0, então .

Passo 3

Agora, precisamos ver se esse MDC (4) divide o adx equiv bd pmodnd (20).
20 dividido por 4 dá exatamente 5, então beleza, 4 divide 20. Isso significa que a congruência tem solução.
Quando o 44x equiv 204 pmod124 Longrightarrow 1cdot x equiv 5 pmod3 divide , a gente pode simplificar a congruência dividindo tudo por :
Aqui fica

Passo 4

A congruência x equiv 2 pmod3 é bem direta: a gente sabe que 5 é congruente a 2 módulo 3 (porque x = 2 + 3k, é múltiplo de 3). Então
Isso significa que todas as soluções têm a forma
para algum inteiro .

Passo 5

Porém, como a gente quer as soluções “mod 12” originais, e o número de soluções distintas é exatamente , basta pegar os quatro valores obtidos para :
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
  • Para : .
Esses cobrem todas as classes de equivalência módulo 12.

Resposta

As soluções da congruência
4x equiv 20 pmod12
são
x equiv 2,;5,;8,;11 pmod12

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