Calcule a seguinte derivada parcial:
partial zpartial t onde z=x y+x^2, x(t)=t+1 e y(t)=t+4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar
partial zpartial t
sendo
z = x,y + x^2, x(t) = t + 1, y(t) = t + 4
Conteúdo: derivadas parciais e, na real, um toque de regra da cadeia (porque depende de e , que por sua vez dependem de ). Vamos precisar saber:
  1. como calcular e ;
  2. como usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis;
  3. derivar e em relação a .

Passo 2

Regra da cadeia para várias variáveis diz que, quando temos dzdt ;=; partial zpartial x,dxdt ;+; partial zpartial y,dydt e , a derivada total de em relação a é
Aqui a notação é só um jeito de dizer “derivar em relação a via ”.

Passo 3

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de z = x,y + x^2 :
partialpartial x(x,y) = y, partialpartial x(x^2) = 2x ;;Longrightarrow;; partial zpartial x = y + 2x
partialpartial y(x,y) = x, partialpartial y(x^2)=0 ;;Longrightarrow;; partial zpartial y = x :
Trato como constante e derivo em :
:
Trato como constante e derivo em :

Passo 4

Agora derivamos x(t)=t+1 ;Longrightarrow; dxdt=1, y(t)=t+4 ;Longrightarrow; dydt=1 e em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt = (y + 2x)cdot1 + (x)cdot1 = y + 2x + x = y + 3x

Passo 6

Só falta colocar x = t+1, y = t+4 ;Longrightarrow; y + 3x = (t+4) + 3(t+1) = t+4 + 3t+3 = 4t + 7 e de volta:

Resposta

boxedpartial zpartial t = 4t + 7

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