Calcule as seguintes derivadas parciais:
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) onde f(x, y)=x cos (y-x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
f(x,y) = x ,cosl(y - xr) e
da função
Conteúdo envolvido: derivada parcial, regra do produto e regra da cadeia em funções de duas variáveis, além de derivadas de funções trigonométricas.
Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber o que é derivada parcial (tratar uma variável como “variável de interesse” e a outra como constante).
  2. Conhecer a regra do produto (derivar ).
  3. Conhecer a regra da cadeia (derivar e depois multiplicar por ).

Passo 2

  1. Primeiro, veja que partialpartial x[ucdot v] = partial upartial x,v + u,partial vpartial x é produto de duas “coisas”:
    • dvdx = -sin(u),dudx
    • partial vpartial x = -sin(y - x),l(-1r) = +sin(y - x)
  2. A regra do produto diz:
partial fpartial x = l(1r)cos(y - x) + xl(sin(y - x)r) = cos(y - x) + x,sin(y - x)
  1. Calculando pedaço por pedaço:
  2. Agora
    Aqui usamos a regra da cadeia: se com , então
    E (porque é tratado como constante).
    Logo
  3. Substituindo na regra do produto:

Passo 3

  1. Agora tratamos f(x,y) = x cdot cos(y - x) como constante e derivamos em relação a partial fpartial y = x ,partialpartial yl[cos(y - x)r] .
    partialpartial y[cos(y - x)] = -sin(y - x),cdot 1 = -sin(y - x)
    Aqui partial fpartial y = x ,l(-sin(y - x)r) = -,x,sin(y - x) é só um número, então sai na frente da derivada:
  1. De novo regra da cadeia para , mas agora e
    .
    Então
  1. Multiplicando pelo :

Resposta

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