Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
Passo 1
Beleza, a questão pede três coisas sobre a função
1) Determinar o domínio.
2) Determinar a imagem (ou seja, todos os valores que
3) Esboçar as curvas de nível (ou seja, as “alturas” constantes).
Conteúdo envolvido: funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar ideias básicas de polinômio quadrático (quando algo tem
e
) e pensar em como isso varia.
Passo 2
Determinar o domínio.
Teoria: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares que fazem
“valer” alguma coisa bem definida. Aqui
é um polinômio em
e
, sem divisão por zero, sem raiz par de negativo etc. Isso significa que você pode escolher qualquer real para
e qualquer real para
e
sai tranquilo.
Teoria: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
Logo,
Passo 3
Determinar a imagem.
Teoria: a imagem (ou contradomínio efetivo) da função é o conjunto de todos os valores que chega a tomar. Aqui temos
Teoria: a imagem (ou contradomínio efetivo) da função é o conjunto de todos os valores que
Como
logo
Ou seja, o valor máximo de
Portanto,
Passo 4
Esboçar as curvas de nível.
Teoria: uma curva de nível para um valor é o conjunto de pontos
tais que
Teoria: uma curva de nível para um valor
Aqui:
Chamando
, temos
Para existirem soluções reais, é preciso
- Se
As semi-dimensões são
em
e
em
.
- Se
, , a curva de nível é só o ponto . - Se
, não há pontos (vazio).
Esboço mental:
Para valores de próximos de 5, as elipses são bem pequeninas em volta da origem. Conforme
diminui (tipo 4, 2, 0, -10), as elipses vão ficando cada vez maiores e “esticadas” de forma diferente em
e
por conta dos coeficientes 3 e 2.
Para valores de
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Curvas de nível para : elipses dadas por
Imagem:
Curvas de nível para
para