Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
f(x, y)=5-3 x^2-2 y^2

Passo 1

Beleza, a questão pede três coisas sobre a função
f(x,y)=5-3x^2-2y^2,:
1) Determinar o domínio.
2) Determinar a imagem (ou seja, todos os valores que f pode assumir).
3) Esboçar as curvas de nível (ou seja, as “alturas” constantes).
Conteúdo envolvido: funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar ideias básicas de polinômio quadrático (quando algo tem x^2 e y^2) e pensar em como isso varia.

Passo 2

Determinar o domínio.
Teoria: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) que fazem f(x,y) “valer” alguma coisa bem definida. Aqui f(x,y)=5-3x^2-2y^2 é um polinômio em x e y, sem divisão por zero, sem raiz par de negativo etc. Isso significa que você pode escolher qualquer real para x e qualquer real para y e f(x,y) sai tranquilo.
Logo,
boxedDomínio = R^2í

Passo 3

Determinar a imagem.
Teoria: a imagem (ou contradomínio efetivo) da função é o conjunto de todos os valores que f(x,y) chega a tomar. Aqui temos
f(x,y)=5 -3x^2 -2y^2
Como x^2>=0 e y^2>=0, então 3x^2>=0 e 2y^2>=0. Isso faz
-3x^2-2y^2<=0,
logo
f(x,y)=5 +(algo<=0);<=5
Ou seja, o valor máximo de f é 5, atingido quando x=0 e y=0. Agora, à medida que |x| ou |y| crescem, 3x^2+2y^2toinfty, então f(x,y)to -infty.
Portanto,
boxedIma>=m = (-infty,,5]

Passo 4

Esboçar as curvas de nível.
Teoria: uma curva de nível para um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c
Aqui:
5-3x^2-2y^2 = c Longrightarrow 3x^2 +2y^2 = 5-c
Chamando k=5-c, temos
3x^2+2y^2 = k
Para existirem soluções reais, é preciso k>=0, ou seja c<=5.
- Se c<5, k>0, e a equação é a de uma elipse:
x^2tfrack3 + y^2tfrack2 =1
As semi-dimensões são raiztfrack3 em x e raiztfrack2 em y.
  • Se c=5, k=0, a curva de nível é só o ponto (0,0).
  • Se c>5, não há pontos (vazio).
Esboço mental:
Para valores de c próximos de 5, as elipses são bem pequeninas em volta da origem. Conforme c diminui (tipo 4, 2, 0, -10), as elipses vão ficando cada vez maiores e “esticadas” de forma diferente em x e y por conta dos coeficientes 3 e 2.

Resposta

Domínio: R^2.
Imagem: (-infty,5].
Curvas de nível para c<=5: elipses dadas por
x^2tfrac5-c3+y^2tfrac5-c2=1,
para c=5 só o ponto (0,0) e, para c>5, nenhuma curva.

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