Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
Passo 1
Resumo do enunciado: a função é
Precisamos determinar
- o domínio (onde a função está bem definida),
- a imagem (todos os valores que
pode assumir), - as curvas de nível (os conjuntos
).
Matéria: funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar a ideia de que a raiz quadrada exige argumento não-negativo e a definição de curvas de nível.
Passo 2
Domínio
Definição: o domínio de é o conjunto de todos os
em que a expressão dentro da raiz é
. Aqui o argumento é
Definição: o domínio de
Mas
e
para todo
, logo
Não há restrição extra, então
Passo 3
Imagem (ou “contradomínio efetivo”)
A função sempre retorna um número
.
A função
- O menor valor ocorre em
, onde . - Conforme
cresce sem limite quando , não há valor máximo.
Portanto
Passo 4
Curvas de nível
Por definição, a curva de nível de altura é
Por definição, a curva de nível de altura
Elevando ao quadrado (
), fica
Isto é a equação de um círculo de raio
centrado na origem.
- Para cada
: não há curva (raiz não dá negativo). - Para
: ponto . - Para
: círculo de raio .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: círculos (centro na origem, raio
).
Imagem:
Curvas de nível: círculos