Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
f(x, y)=raizx^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: a função é
f(x,y) = raizx^2 + y^2,
Precisamos determinar
  1. o domínio (onde a função está bem definida),
  2. a imagem (todos os valores que pode assumir),
  3. as curvas de nível (os conjuntos ).
    Matéria: funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar a ideia de que a raiz quadrada exige argumento não-negativo e a definição de curvas de nível.

Passo 2

Domínio
Definição: o domínio de x^2 + y^2 é o conjunto de todos os x^2 + y^2 >= 0forall,x,yinR em que a expressão dentro da raiz é Dom(f)=(x,y)inR^2, . Aqui o argumento é
Mas e para todo , logo
Não há restrição extra, então

Passo 3

Imagem (ou “contradomínio efetivo”)
A função Im(f) = [0,infty) sempre retorna um número .
  • O menor valor ocorre em , onde .
  • Conforme cresce sem limite quando , não há valor máximo.
    Portanto

Passo 4

Curvas de nível
Por definição, a curva de nível de altura (x,y)mid f(x,y)=c Longrightarrow raizx^2+y^2=c é
x^2 + y^2 = c^2
Elevando ao quadrado ( ), fica
Isto é a equação de um círculo de raio centrado na origem.
  • Para cada : não há curva (raiz não dá negativo).
  • Para : ponto .
  • Para : círculo de raio .

Resposta

Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: círculos (centro na origem, raio ).

Exercícios relacionados