Calcule a seguinte derivada parcial:
partial zpartial t onde z=x cos y, x(t)=sen t e y(t)=t

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos achar a derivada de
z = xcos y
em função de x(t)=sen t, y(t)=t , sabendo que
Conteúdo da matéria: derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e a , e depois multiplicar pelas derivadas de e .

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de partialpartial x [,xcos y,] = cos y em relação a partialpartial y [,xcos y,] = x;(-sin y) = -,xsin y e a :
  • : aqui tratamos como constante, então
  • : agora é constante, e a derivada de é , então

Passo 3

Calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial zpartial t = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt
Substituindo o que já achamos:
partial zpartial t = (cos y),(cos t) + (-xsin y),(1)

Passo 5

Agora é só pôr e partial zpartial t = cos(t),cos t - (sen t),sin t = cos^2 t ;-;sen t,sin t :
Mas , então
partial zpartial t = cos^2 t - sin^2 t
Lembra da identidade trigonométrica ?

Resposta

boxedpartial zpartial t = cos(2t)

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