Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
f(x, y)=10-y^2

Passo 1

Beleza! A questão pede três coisas sobre a função
f(x,y) = 10 - y^2:
  1. O domínio (todos os pontos onde a função faz sentido).
  2. A imagem (todos os valores que pode assumir).
  3. Esboçar as curvas de nível (as curvas onde , pra vários ).
O conteúdo aqui é análise de funções de duas variáveis: domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar conceitos básicos de onde a expressão está definida, quais valores ela gera e resolver o sistema .

Passo 2

Determinando o domínio.
A função é . Não tem divisão por zero, raiz par, log nem nada que dê problema: é só uma subtração de um quadrado. Logo, tá definida para qualquer real e qualquer real.
Domínio = .

Passo 3

Determinando a imagem.
Repare que f(x,y) = 10 - y^2 <= 10 é sempre f(x,y) = 10 - y^2 to -infty . Então
Por outro lado, pode ficar tão grande quanto a gente quiser (se , ), então
Logo a imagem é todos os valores até 10, inclusive:
Imagem = .

Passo 4

Curvas de nível.
Curva de nível de valor f(x,y) = c Longrightarrow 10 - y^2 = c é o conjunto de y^2 = 10 - c que satisfazem
y = pmraiz,10 - c,,
Isso vira
y = +raiz10-c e y = -raiz10-c,
  1. Se , não existe real, então não há curva de nível.
  2. Se , então
e qualquer .
Ou seja, as curvas de nível são pares de retas horizontais:
válidas só quando .

Resposta

Domínio: .
Imagem: .
Curvas de nível para cada : retas horizontais
, sem restrição em .

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