Determine o Domínio, a Imagem e esboce as curvas de nível da função:
Passo 1
Beleza! A questão pede três coisas sobre a função
- O domínio (todos os pontos
onde a função faz sentido). - A imagem (todos os valores que
pode assumir). - Esboçar as curvas de nível (as curvas onde
, pra vários ).
O conteúdo aqui é análise de funções de duas variáveis: domínio, imagem e curvas de nível. Vamos usar conceitos básicos de onde a expressão está definida, quais valores ela gera e resolver o sistema
.
Passo 2
Determinando o domínio.
A função é . Não tem divisão por zero, raiz par, log nem nada que dê problema: é só uma subtração de um quadrado. Logo, tá definida para qualquer
real e qualquer
real.
Domínio = .
A função é
Domínio =
Passo 3
Determinando a imagem.
Repare que é sempre
. Então
Repare que
Por outro lado,
pode ficar tão grande quanto a gente quiser (se
,
), então
Logo a imagem é todos os valores até 10, inclusive:
Imagem = .
Imagem =
Passo 4
Curvas de nível.
Curva de nível de valor é o conjunto de
que satisfazem
Curva de nível de valor
Isso vira
- Se
, não existe real, então não há curva de nível. - Se
, então
e qualquer
.
Ou seja, as curvas de nível são pares de retas horizontais:
válidas só quando
.
Resposta
Domínio:
.
Imagem: .
Curvas de nível para cada : retas horizontais
, sem restrição em
.
Imagem:
Curvas de nível para cada