A concentração de uma substância em um recipiente é dada por
. Determine a região onde a concentração é maior que 50.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: “A concentração de uma substância em um recipiente é dada por
A gente precisa determinar a região do plano onde essa concentração é maior que 50.”
Conteúdo envolvido: inequação de funções de duas variáveis e geometria no plano (regiões definidas por desigualdades).
O que vamos usar:
Conteúdo envolvido: inequação de funções de duas variáveis e geometria no plano (regiões definidas por desigualdades).
O que vamos usar:
- Manipular desigualdades com frações.
- Reconhecer que
define um disco no plano.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a condição que a gente quer:
Repara que o denominador
é sempre positivo (porque soma de quadrados mais 1). Então a gente pode multiplicar sem inverter o sinal da desigualdade:
Passo 3
Agora distribui o 50 dentro do parêntese:
Para isolar a parte com
, subtrai 50 de ambos os lados:
Passo 4
Divide tudo por 50 (novamente, é positivo, então não muda o sinal):
Isso já nos conta a forma da região: a desigualdade
é o interior de um círculo de raio 1, centrado na origem.
Resposta
A concentração
é maior que 50 exatamente para os pontos
que satisfazem
ou seja, a região é o disco aberto de raio 1 centrado na origem.