A concentração de uma substância em um recipiente é dada por C(x, y)=100x^2+y^2+1. Determine a região onde a concentração é maior que 50.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “A concentração de uma substância em um recipiente é dada por
C(x, y)=100x^2+y^2+1
A gente precisa determinar a região do plano onde essa concentração é maior que 50.”
Conteúdo envolvido: inequação de funções de duas variáveis e geometria no plano (regiões definidas por desigualdades).
O que vamos usar:
  • Manipular desigualdades com frações.
  • Reconhecer que x^2+y^2 define um disco no plano.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a condição que a gente quer:
100x^2+y^2+1 > 50
Repara que o denominador x^2+y^2+1 é sempre positivo (porque soma de quadrados mais 1). Então a gente pode multiplicar sem inverter o sinal da desigualdade:
100 > 50,(x^2+y^2+1)

Passo 3

Agora distribui o 50 dentro do parêntese:
100 > 50x^2 + 50y^2 + 50
Para isolar a parte com x^2+y^2, subtrai 50 de ambos os lados:
100 - 50 > 50x^2 + 50y^2 Longrightarrow 50 > 50(x^2 + y^2)

Passo 4

Divide tudo por 50 (novamente, é positivo, então não muda o sinal):
1 > x^2 + y^2 Longrightarrow x^2 + y^2 < 1
Isso já nos conta a forma da região: a desigualdade x^2+y^2<1 é o interior de um círculo de raio 1, centrado na origem.

Resposta

A concentração C(x,y) é maior que 50 exatamente para os pontos (x,y) que satisfazem
x^2 + y^2 < 1,
ou seja, a região é o disco aberto de raio 1 centrado na origem.

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