Calcule a seguinte derivada parcial:
partial zpartial w onde z=cos (x y)+x y, x=u v+w^3 e y=v+u e^w

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada parcial
z = cos(xy) + xy, x = u v + w^3, y = v + u e^w ,
onde
partial zpartial w = partial zpartial x,partial xpartial w + partial zpartial y,partial ypartial w
Isso é caso de Regra da Cadeia em derivadas parciais: z depende de x e y, e x,y dependem de w. Vamos usar:

Passo 2

Primeiro, achamos partialpartial xcos(xy) = -sin(xy),partial (xy)partial x = -sin(xy),y e partialpartial x(xy) = y .
Teoria: Se partial zpartial x = -sin(xy),y + y = y,(1 - sin(xy)) , com , então
e .
Como , pela cadeia:
E
Somando:

Passo 3

Agora partialpartial ycos(xy) = -sin(xy),partial(xy)partial y = -sin(xy),x, . Mesmo raciocínio:
partialpartial y(xy) = x,
partial zpartial y = -sin(xy),x + x = x,(1 - sin(xy))
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Passo 4

Em seguida, calculamos x = u v + w^3 Longrightarrow partial xpartial w = 3w^2 e y = v + u e^w Longrightarrow partial ypartial w = u,e^w :

Passo 5

Agora aplicamos a Regra da Cadeia:
partial zpartial w = partial zpartial x,partial xpartial w + partial zpartial y,partial ypartial w
Substituindo:
partial zpartial w = l[y,(1 - sin(xy))r](3w^2) + l[x,(1 - sin(xy))r](u e^w)

Resposta

boxed partial zpartial w = (1 - sin(xy))l(3w^2,y + u e^w,xr),
onde e .

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