Calcule as seguintes derivadas parciais:
onde
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
(especificamente
e
).
O assunto aqui é “derivadas parciais” e a “regra da cadeia” para funções de várias variáveis. Vamos precisar:
O assunto aqui é “derivadas parciais” e a “regra da cadeia” para funções de várias variáveis. Vamos precisar:
- saber derivar →
, - aplicar isso primeiro em relação a
, depois a , e em seguida derivar mais uma vez cada resultado para obter as segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, achamos
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Como , a “parte interna” tem derivada
.
Então
Como , a “parte interna”
Então
Passo 3
Agora derivamos
de novo em relação a
para obter
.
Temos . Aplicando a regra da cadeia outra vez:
Temos
Passo 4
Vamos para a outra direção. Primeiro calculamos
, derivada de
em relação a
.
Aqui tem derivada
. Então
Aqui
Passo 5
Por fim, derivamos
de novo em relação a
para achar
.