Calcule as seguintes derivadas parciais:
partial^2 fpartial xx(x, y) e partial^2 fpartial xx(x, y) onde f(x, y)=sen(2 x+y)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
(especificamente f(x,y)=sen(2x+y) e ).
O assunto aqui é “derivadas parciais” e a “regra da cadeia” para funções de várias variáveis. Vamos precisar:
  1. saber derivar ,
  2. aplicar isso primeiro em relação a , depois a , e em seguida derivar mais uma vez cada resultado para obter as segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, achamos fx = partialpartial xsen(2x+y) = cos(2x+y);cdot 2 , ou seja, a derivada de em relação a .
Como , a “parte interna” tem derivada .
Então

Passo 3

Agora derivamos fxx = partialpartial xl(2cos(2x+y)r) = 2;l(-sen(2x+y)r);cdot (2) = -4,sen(2x+y) de novo em relação a para obter .
Temos . Aplicando a regra da cadeia outra vez:

Passo 4

Vamos para a outra direção. Primeiro calculamos fy = partialpartial ysen(2x+y) = cos(2x+y);cdot 1 = cos(2x+y) , derivada de em relação a .
Aqui tem derivada . Então

Passo 5

Por fim, derivamos fyy = partialpartial yl(cos(2x+y)r) = -sen(2x+y);cdot 1 = -sen(2x+y) de novo em relação a para achar .

Resposta

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