Calcule a seguinte integral:
integral cosec^3(x) d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral
integral csc^3 x ,dx
Isso é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar:
  1. a técnica de integração por partes;
  2. a identidade trigonométrica ;
  3. a integral conhecida .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
integral csc^3 x ,dx = integral csc x cdot csc^2 x ,dx
Aí dá pra aplicar integração por partes, porque tem uma primitiva simples e tem derivada que a gente conhece.

Passo 3

Escolhendo as partes:
u = csc x, dv = csc^2 x,dx
Então
du = -csc xcot x,dx e v = integral csc^2 x,dx = -cot x
Pela fórmula de partes,
integral u,dv = u,v - integral v,du,
ficamos com
integral csc^3 x,dx = csc xcdot(-cot x) ;-;integrall(-cot xr)l(-csc xcot x,dxr)

Passo 4

Simplificando o sinal e o produto dentro da segunda integral:
integral csc^3 x,dx = -csc x,cot x ;-;integral csc x,cot^2 x,dx
Agora usamos integral csc x,cot^2 x,dx = integral csc xl(csc^2 x - 1r),dx = integral csc^3 x,dx ;-;integral csc x,dx :
I = -csc x,cot x ;-;l(I - integral csc x,dxr) = -csc x,cot x - I + integral csc x,dx
Chamando 2I = -csc x,cot x + integral csc x,dx Longrightarrow I = -tfrac12,csc x,cot x + tfrac12!!integral csc x,dx , temos
Então

Passo 5

Só falta lembrar a integral padrão
integral csc x,dx = -lnl|csc x + cot xr| + C
Substituindo em I = -tfrac12,csc x,cot x ;+;tfrac12l(-lnl|csc x + cot xr|r) + C :

Resposta

boxedintegral csc^3 x,dx = -tfrac12,csc x,cot x - tfrac12,lnl|csc x + cot xr| + C

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