Calcule a seguinte integral:
Passo 1
Resumo do enunciado: a pergunta pede para calcular
Conteúdo da matéria: integrais por substituição.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender como escolher uma boa substituição para simplificar o radical;
- Saber derivar uma função composta (regra da cadeia);
- Conhecer a integral de
e de .
Passo 2
Escolhendo a substituição
Como temos , uma ideia é definir
Como temos
Isso vai simplificar a raiz e transformar tudo em função de
.
Passo 3
Calculando
em termos de
Partimos de . Derivando ambos os lados em relação a
dá
Partimos de
Logo
Mas, da própria substituição,
. Então
Passo 4
Reescrevendo a integral
Nossa integral original é
Nossa integral original é
Aqui usamos a ideia de dividir
por
para facilitar a integral.
Passo 5
Integração propriamente dita
Observamos que
Observamos que
Então
Sabemos que
Logo
Passo 6
Voltando para a variável
Lembrando que , substituímos de volta:
Lembrando que