Calcule a seguinte integral:
integral raize^x-1 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a pergunta pede para calcular
integral raize^x-1,dx
Conteúdo da matéria: integrais por substituição.
O que vamos precisar:
  • Entender como escolher uma boa substituição para simplificar o radical;
  • Saber derivar uma função composta (regra da cadeia);
  • Conhecer a integral de 1 e de tfrac1u^2+1.

Passo 2

Escolhendo a substituição
Como temos raize^x-1, uma ideia é definir
u = raize^x - 1Longrightarrow u^2 = e^x - 1
Isso vai simplificar a raiz e transformar tudo em função de u.

Passo 3

Calculando dx em termos de du
Partimos de u^2 = e^x - 1. Derivando ambos os lados em relação a x
2u,dudx = e^x Longrightarrow dudx = e^x2u
Logo
dx = 2ue^x,du
Mas, da própria substituição, e^x = u^2 + 1. Então
dx = 2uu^2 + 1,du

Passo 4

Reescrevendo a integral
Nossa integral original é
integral raize^x - 1,dx = integral u ,l(2uu^2+1,dur) = 2integral u^2u^2+1,du
Aqui usamos a ideia de dividir u^2 por u^2+1 para facilitar a integral.

Passo 5

Integração propriamente dita
Observamos que
u^2u^2+1 = 1 - 1u^2+1
Então
2integral u^2u^2+1,du = 2integrall(1 - 1u^2+1r)du = 2integral 1,du ;-;2integral 1u^2+1,du
Sabemos que
integral 1,du = u e integral 1u^2+1,du = arctan(u)
Logo
2integral u^2u^2+1,du = 2u ;-; 2arctan(u) + C

Passo 6

Voltando para a variável x
Lembrando que u = raize^x - 1, substituímos de volta:
integral raize^x-1,dx = 2raize^x-1 - 2arctanl(raize^x-1r) + C

Resposta

boxed integral raize^x-1,dx = 2raize^x-1 -2arctanl(raize^x-1r) + C

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