Calcule a seguinte integral:
integral sin (x)3+4 cos ^2(x) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Calcular a integral
integral sin(x)3 + 4 cos^2(x) , dx
Conteúdo: integração por substituição (u-substitution) e uso da fórmula
integral dua^2 + u^2 = 1a,arctan!l(uar) + C
O que vamos precisar:
  • Reconhecer que é derivada (menos) de .
  • Aplicar a fórmula da integral de .

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = cos(x) Longrightarrow du = -sin(x),dx Longrightarrow sin(x),dx = -,du

Passo 3

Substituindo em
[
\int \frac{\sin(x)}{3+4\cos^2(x)},dx

\int \frac{-,du}{3+4u^2}

  • \int \frac{du}{3+4u^2}.
    ]

Passo 4

Para resolver
3 + 4u^2 = 3l(1 + tfrac43u^2r) = 3l[1 + l(tfrac2uraiz3r)^2r] , escrevemos
v = tfrac2uraiz3 ,, dv = tfrac2raiz3,du Longrightarrow du = tfracraiz32,dv
Então, usando integral du3+4u^2 = integral raiz32,dv3l(1+v^2r) = raiz36integral dv1+v^2 = raiz36,arctan(v) + C = raiz36,arctan!l(tfrac2uraiz3r)+C , façamos
- integral du3+4u^2 = -,raiz36,arctan!l(tfrac2uraiz3r) + C
Fica
Lembrando do sinal menos lá de cima,

Passo 5

Volta a integral sin(x)3+4cos^2(x),dx = -raiz36,arctan!l(2cos(x)raiz3r) + C :

Resposta

-raiz36,arctan!l(2cos(x)raiz3r) + C

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