Calcule a seguinte integral:
integral e^x(1-x1+x^2)^2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: Calcular
integral e^xl(1-x1+x^2r)^2,dx
Conteúdo da matéria: integração de funções que envolvem exponencial e razão de polinômios, usando regra do quociente, regra do produto e derivadas básicas. Vamos precisar saber derivar , derivar (ou usar regra do quociente) e reconhecer que a integral pode ser a derivada de algo mais simples.

Passo 2

Ideia principal: será que nosso integrando é a derivada de
F(x)=e^x1+x^2,?
Se isso for verdade, então
integral e^xl(tfrac1-x1+x^2r)^2dx = F(x) + C
Vamos confirmar derivando .

Passo 3

Derivando F'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 com u'(x)=e^x, v'(x)=2x e F'(x) =e^x,(1+x^2);-;e^x,(2x)(1+x^2)^2 =e^xl(1+x^2-2xr)(1+x^2)^2 =e^x(x^2-2x+1)(1+x^2)^2 =e^x(1-x)^2(1+x^2)^2 pela regra do quociente
Aqui
Então
Isso bate exatamente com nosso integrando!

Passo 4

Conclusão: como
ddxl(tfrace^x1+x^2r) = e^xl(tfrac1-x1+x^2r)^2,
temos
integral e^xl(tfrac1-x1+x^2r)^2dx = e^x1+x^2 + C

Resposta

boxede^x1+x^2 + C

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