Calcule a seguinte integral pelo método de Newton Cotes pela regra do Trapezoidal e de Simpson, faça n=8 e utilize 3 casas decimais e arredondamento nos cálculos.
\quad\left(x^{2 *} \ln (x)^{*} \cos (x)\right) /\left(x^{2}+2\right) intervalo 3 a 10

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos aproximar
I = \int_{3}^{10} \frac{x^2\,\ln(x)\,\cos(x)}{x^2+2}\,dx
pelas regras compostas do Trapézio e de Simpson com n=8. O passo inicial é calcular
h = \frac{10 - 3}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875.

Passo 2

Definimos os nós
x_i = 3 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,8,
e em cada nó calculamos
f(x_i) = \frac{x_i^2\,\ln(x_i)\,\cos(x_i)}{x_i^2+2},
arredondando cada valor a 3 casas decimais. Os resultados são: x_0=3{,}000,\\ f_0=-0{,}891 x_1=3{,}875,\\ f_1=-0{,}890 x_2=4{,}750,\\ f_2=0{,}058 x_3=5{,}625,\\ f_3=1{,}285 x_4=6{,}500,\\ f_4=1{,}745 x_5=7{,}375,\\ f_5=0{,}885 x_6=8{,}250,\\ f_6=-0{,}791 x_7=9{,}125,\\ f_7=-2{,}062 x_8=10{,}000,\\ f_8=-1{,}894

Passo 3

Regra composta do Trapézio:
T = \frac{h}{2}\Bigl(f_0 + f_8 + 2\sum_{i=1}^{7}f_i\Bigr).
Calculamos \sum_{i=1}^{7}f_i = -0{,}890 + 0{,}058 + 1{,}285 + 1{,}745 + 0{,}885 - 0{,}791 - 2{,}062 = 0{,}230.
Logo
T = \frac{0{,}875}{2}\bigl(-0{,}891 -1{,}894 +2\cdot0{,}230\bigr) =0{,}4375\cdot(-2{,}325) \approx -1{,}016.

Passo 4

Regra composta de Simpson:
S = \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + f_8 +4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{7}f_i +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{6}f_i\Bigr).
Aqui \sum_{i\\ \text{ímpar}}f_i = f_1+f_3+f_5+f_7 = -0{,}782, \sum_{i\\ \text{par}}f_i = f_2+f_4+f_6 = 1{,}012.í
Logo
S = \frac{0{,}875}{3}\bigl(-0{,}891 -1{,}894 +4\cdot(-0{,}782)+2\cdot1{,}012\bigr) =0{,}291667\cdot(-3{,}889) \approx -1{,}134.

Resposta

Aproximação pelo Trapézio: -1,016
Aproximação por Simpson: -1,134

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