Calcule y(x) no instante x=3 segundos com intervalos de 1 segundo, usando método de Euler e de RK 2́a, 3^{\text {a e }} 4^{\text {a }} ordens. Utilizar 3 casas decimais.
\begin{gathered} y^{\prime \prime}=2 y^{\prime}+\cos (y)-x \\\ y^{\prime}(0)=2 \\\ y(0)=3 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede aproximar y(3) para a EDO
y'' = 2y' + \cos(y) - x
com condições y(0)=3, y'(0)=2, passo h=1 e métodos de Euler explícito, RK de 2ª, 3ª e 4ª ordens. Vamos primeiro converter para um sistema de 1ª ordem e depois aplicar cada método em três passos x=0\to1\to2\to3.

Passo 2

Definimos
y_1 = y,\quad y_2 = y',
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\begin{cases} y_1' = y_2,\\\ y_2' = 2\,y_2 + \cos(y_1) - x, \end{cases}
com \bigl(y_1(0),y_2(0)\bigr)=(3,2). Em cada passo n de x_n para x_{n+1}=x_n+h, calculamos aproximações \bigl(y_{1,n+1},y_{2,n+1}\bigr) via cada método.

Passo 3

Euler explícito:
y_{1,n+1}=y_{1,n}+h\,y_{2,n},\quad y_{2,n+1}=y_{2,n}+h\bigl(2y_{2,n}+\cos(y_{1,n})-x_n\bigr).
Iterando de x=0 até 3 obtém-se
y_1(3)\approx 24{,}324.

Passo 4

RK de 2ª ordem (método do ponto-médio):
\begin{aligned} k_1&=f\bigl(x_n,y_n\bigl)=\bigl(y_{2,n},\,2y_{2,n}+\cos(y_{1,n})-x_n\bigr),\\\ y_{\mathrm{mid}}&=y_n+\tfrac h2k_1,\quad x_{\mathrm{mid}}=x_n+\tfrac h2,\\\ k_2&=f\bigl(x_{\mathrm{mid}},y_{\mathrm{mid}}\bigl),\\\ y_{n+1}&=y_n+h\,k_2. \end{aligned}
Fazendo os três passos, chega-se a
y_1(3)\approx 95{,}165.

Passo 5

RK de 3ª ordem (fórmula clássica de três estágios):
\begin{aligned} k_1&=f\bigl(x_n,y_n\bigr),\\\ k_2&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\,y_n+\tfrac h2k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(x_n+h,\,y_n-h\,k_1+2h\,k_2\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_n+\tfrac h6\bigl(k_1+4k_2+k_3\bigr). \end{aligned}
Aplicando nos três passos, obtém-se
y_1(3)\approx 118{,}815.

Passo 6

RK de 4ª ordem (clássico de quatro estágios):
\begin{aligned} k_1&=f(x_n,y_n),\\\ k_2&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\,y_n+\tfrac h2k_1\bigr),\\\ k_3&=f\bigl(x_n+\tfrac h2,\,y_n+\tfrac h2k_2\bigr),\\\ k_4&=f\bigl(x_n+h,\,y_n+h\,k_3\bigr),\\\ y_{n+1}&=y_n+\tfrac h6\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr). \end{aligned}
Após três passos, chega-se a
y_1(3)\approx 130{,}717.

Resposta

Euler: y(3)\approx 24{,}324
RK 2ª ordem: y(3)\approx 95{,}165
RK 3ª ordem: y(3)\approx 118{,}815
RK 4ª ordem: y(3)\approx 130{,}717

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