Determine a raiz de f(x) pelo Método de Newton-Raphson, considerando \mathbf{x 0 = 0 , 5 ~ r a d} ou pelo Método da Bisseçăo, considerando \mathbf{X}=\{\mathbf{0 , 8 ; 0 , 9}\} rad e a tolerância \varepsilon=0,02: \mathbf{f}(\mathbf{x})=\operatorname{sen}(\mathbf{x}) \cdot \mathbf{e}^{\wedge}-\mathbf{2 x}+\mathbf{x}-\mathbf{1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função
f(x) = \sin(x)\,e^{-2x} + x - 1
utilizando o Método de Newton–Raphson com chute inicial x_0 = 0,5 rad e tolerância \varepsilon = 0,02. Vamos adotar esse método pois converge rapidamente quando a derivada não se anula perto da raiz.

Passo 2

Para aplicar Newton, precisamos de f'(x) e da fórmula iterativa. Derivando por regra do produto:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[\sin(x)\,e^{-2x}\bigr] + \frac{d}{dx}(x) - 0 = e^{-2x}\bigl(\cos(x) - 2\sin(x)\bigr) + 1.
A iteração de Newton é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 3

Primeira iteração ( n=0):
\displaystyle x_0 = 0,5
f(0,5) = \sin(0,5)\,e^{-1} + 0,5 - 1 \approx 0,4794\cdot0,3679 -0,5 = -0,3240,
f'(0,5) = e^{-1}\bigl(\cos(0,5)-2\sin(0,5)\bigr) + 1 \approx 0,3679\,(-0,0813) + 1 = 0,9701.
Logo
x_1 = 0,5 - \frac{-0,3240}{0,9701} \approx 0,8339.

Passo 4

Segunda iteração ( n=1):
f(0,8339) \approx \sin(0,8339)\,e^{-1,6678} + 0,8339 -1 = -0,0266,
f'(0,8339) \approx e^{-1,6678}\bigl(\cos(0,8339)-2\sin(0,8339)\bigr) +1 = 0,8480.
Portanto
x_2 = 0,8339 - \frac{-0,0266}{0,8480} \approx 0,8653.
A diferença \lvert x_2 - x_1\rvert = 0,0314 ainda é maior que \varepsilon=0,02, então iteramos mais uma vez.

Passo 5

Terceira iteração ( n=2):
f(0,8653) \approx \sin(0,8653)\,e^{-1,7306} + 0,8653 -1 = 0,0003,
f'(0,8653) \approx e^{-1,7306}\bigl(\cos(0,8653)-2\sin(0,8653)\bigr) +1 = 0,8450.
Logo
x_3 = 0,8653 - \frac{0,0003}{0,8450} \approx 0,8649.
Agora \lvert x_3 - x_2\rvert = 0,0004 < 0,02, atingimos a tolerância.

Resposta

A raiz aproximada é x \approx 0,865 rad.

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