Maximização de Lucro em uma Estratégia de Preço
Uma empresa que vende produtos online quer definir o preço p de venda que maximize o lucro. A função de lucro em função do preço é L(p)=-2 p^wed>= 2+20 p-50.
Use o método da razão áurea para encontrar o preço que maximiza o lucro, testando no intervalo [0, 10]. Explique por que esse método é útil para maximização de funções de lucro e como ele pode ser aplicado em cenários de ajuste de preços.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o preço L(p) ;=;-2p^2 + 20p - 50 que maximiza o lucro
no intervalo usando o método da razão áurea.
Conteúdo: otimização unidimensional (função unimodal), sem usar derivada explícita.
O que precisamos:
  • Entender o que é o método da razão áurea (golden-section search).
  • Aplicar iterações até o intervalo ficar bem apertado em torno do máximo.

Passo 2

Teoria rápida do método da razão áurea:
  1. Se a função é unimodal (tem um pico só) num intervalo c = b - varphi,(b-a), d = a + varphi,(b-a), , a gente coloca dois pontos internos onde .
  2. Compara e ; se , o máximo está entre , senão entre .
  3. Repetimos até ficar pequenininho, aí o meio do intervalo é nosso .
    Por que é útil?
  • Não precisa de derivada (útil se a função é “preta” ou bem custosa de derivar).
  • É estável e garante convergência rápida para o pico.

Passo 3

Inicialização:
  • Escolhemos tolerância , por exemplo.

Passo 4

Primeira iteração:
  • L(3,82) = -2,(3,82)^2 + 20cdot3,82 -50 approx -2,78,
  • L(6,18) = -2,(6,18)^2 + 20cdot6,18 -50 approx -2,78
    Calculamos:
a1 = c0 = 3,82, b1 = b0 = 10
Como são quase iguais (a função é simétrica neste caso), a gente pode escolher encurtar de um dos lados. Vamos supor que ficou ligeiramente maior e atualizar:

Passo 5

Segunda iteração (idéia geral, sem repetir cálculo exato):
  • Calcula e dentro de do mesmo jeito.
  • Compara e , vai ver que o intervalo vai aproximar cada vez mais de 5.
A cada passo, encolhe em fator . Depois de umas 8–10 iterações, .

Passo 6

Depois de convergir (digamos que tenhamos aplicado 8 iterações), o meio do intervalo
p^* approx ak + bk2
fica muito próximo de 5.

Resposta

O método da razão áurea aponta como preço que maximiza o lucro.

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