Maximização de Lucro em uma Estratégia de Preço
Uma empresa que vende produtos online quer definir o preço
de venda que maximize o lucro.
função de lucro em função do preço é
.
Use o método da razão áurea para encontrar o preço que maximiza o lucro, testando no intervalo [0, 10]. Explique por que esse método é útil para maximização de funções de lucro e como ele pode ser aplicado em cenários de ajuste de preços.
Uma empresa que vende produtos online quer definir o preço
Use o método da razão áurea para encontrar o preço que maximiza o lucro, testando no intervalo [0, 10]. Explique por que esse método é útil para maximização de funções de lucro e como ele pode ser aplicado em cenários de ajuste de preços.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar o preço
que maximiza o lucro
no intervalo
usando o método da razão áurea.
Conteúdo: otimização unidimensional (função unimodal), sem usar derivada explícita.
O que precisamos:
Conteúdo: otimização unidimensional (função unimodal), sem usar derivada explícita.
O que precisamos:
- Entender o que é o método da razão áurea (golden-section search).
- Aplicar iterações até o intervalo ficar bem apertado em torno do máximo.
Passo 2
Teoria rápida do método da razão áurea:
- Se a função é unimodal (tem um pico só) num intervalo
, a gente coloca dois pontos internos onde . - Compara
e ; se , o máximo está entre , senão entre . - Repetimos até
ficar pequenininho, aí o meio do intervalo é nosso .
Por que é útil?
- Não precisa de derivada (útil se a função é “preta” ou bem custosa de derivar).
- É estável e garante convergência rápida para o pico.
Passo 3
Inicialização:
-
-
- Escolhemos tolerância
, por exemplo.
Passo 4
Primeira iteração:
-
-
Calculamos:
Como são quase iguais (a função é simétrica neste caso), a gente pode escolher encurtar de um dos lados. Vamos supor que
ficou ligeiramente maior e atualizar:
Passo 5
Segunda iteração (idéia geral, sem repetir cálculo exato):
- Calcula
e dentro de do mesmo jeito. - Compara
e , vai ver que o intervalo vai aproximar cada vez mais de 5.
A cada passo,
encolhe em fator
. Depois de umas 8–10 iterações,
.
Passo 6
Depois de convergir (digamos que tenhamos aplicado 8 iterações), o meio do intervalo
fica muito próximo de 5.
Resposta
O método da razão áurea aponta
como preço que maximiza o lucro.