Use o método de Newton para encontrar o zero da função f(x)=(x-2)^3, com até duas casas decimais corretas (i.e., |xk+1-2| ). Porque o método demora para convergir para a raiz xi=2 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente usar o método de Newton pra achar a raiz de
f(x)=(x-2)^3
até ter duas casas decimais certas, ou seja
|xk+1-2|
O conteúdo aqui é o método de Newton (que usa derivada e fórmula iterativa) e vamos precisar de:
  1. derivar f(x);
  2. montar a iteração xn+1=xn-f(xn)f'(xn);
  3. estimar quantas etapas até o erro ficar abaixo de 10^-2.

Passo 2

Primeiro, a teoria do método de Newton diz:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
Então a gente precisa de f'(x). Como
f(x)=(x-2)^3,,
derivando:
f'(x)=3(x-2)^2,

Passo 3

Agora plugamos na fórmula:
xn+1=xn-(xn-2)^33(xn-2)^2 = xn-xn-23 = 2xn+23,
Ou seja, nossa iteração fica bem simples:
xn+1=2xn+23,

Passo 4

Pra entender a convergência, definimos o erro en=xn-2. Então
en+1=xn+1-2 =2xn+23-2 =2(xn-2)3 =23,en,
Isso é uma sequência geométrica de razão 2/3 (convergência linear).
Se a gente escolher, por exemplo, x0=0, então e0=-2 e
|en|=2l(tfrac23r)^n
Queremos |en|<10^-2, isto é
$$2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n<0.01
;\Longrightarrow;n\gtrsim 13.06
;\Longrightarrow;n=14iterações.$$

Passo 5

Depois de 14 iterações a gente tem
x14=2+e14=2-2l(tfrac23r)^14approx1.9931,
Arredondando pras duas casas: x14approx1.99.
Por que demora tanto? Porque na raiz xi=2 a derivada é zero ( f'(2)=0) – a raiz é de multiplicidade 3 – e isso faz o Newton perder a famosa convergência quadrática, virando apenas convergência linear com fator (m-1)/m=2/3,.

Resposta

Aproximação da raiz: xapprox1.99 (duas casas decimais).
O método demora porque f'(2)=0 (raiz múltipla de ordem 3), passando de convergência quadrática para linear com razão 2/3,.

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