Use o método de Newton para encontrar o zero da função
, com até duas casas decimais corretas (i.e.,
). Porque o método demora para convergir para a raiz
?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente usar o método de Newton pra achar a raiz de
até ter duas casas decimais certas, ou seja
O conteúdo aqui é o método de Newton (que usa derivada e fórmula iterativa) e vamos precisar de:
- derivar
; - montar a iteração
; - estimar quantas etapas até o erro ficar abaixo de
.
Passo 2
Primeiro, a teoria do método de Newton diz:
Então a gente precisa de
derivando:
Passo 3
Agora plugamos na fórmula:
Ou seja, nossa iteração fica bem simples:
Passo 4
Pra entender a convergência, definimos o erro
. Então
Isso é uma sequência geométrica de razão
(convergência linear).
Se a gente escolher, por exemplo, , então
e
Se a gente escolher, por exemplo,
Queremos
$$2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n<0.01
;\Longrightarrow;n\gtrsim 13.06
;\Longrightarrow;n=14iterações.$$
Passo 5
Depois de 14 iterações a gente tem
Arredondando pras duas casas:
Por que demora tanto? Porque na raiz
a derivada é zero (
) – a raiz é de multiplicidade 3 – e isso faz o Newton perder a famosa convergência quadrática, virando apenas convergência linear com fator
.
Resposta
Aproximação da raiz:
(duas casas decimais).
O método demora porque (raiz múltipla de ordem 3), passando de convergência quadrática para linear com razão
.
O método demora porque