Calcule as seguintes derivadas parciais:
e
onde
Passo 1
Então, o enunciado quer que a gente calcule as derivadas parciais de
isto é,
e
Conteúdo: derivadas parciais.
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada parcial (derivar em relação a uma variável, tratando a outra como constante).
- Regras básicas de derivação: potência, logaritmo natural, exponencial e constante.
Conteúdo: derivadas parciais.
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada parcial (derivar em relação a uma variável, tratando a outra como constante).
- Regras básicas de derivação: potência, logaritmo natural, exponencial e constante.
Passo 2
Primeiro,
.
- Definição: derivada parcial em
é como derivar uma função de , considerando fixo. - A função é soma de três termos, então a gente deriva cada um e soma o resultado (regra da soma).
- Derivada de
em relação a usa a regra da potência:
- Derivada deé a derivada padrão de log natural:
- Derivada de
: aqui é tratado como constante, e fica de fora. Derivada de é , logo
3) Então, somando tudo:
- Derivada de
Passo 3
Agora,
.
- Definição: derivada parcial em
é derivar em relação a , tratando como constante. - Na expressão
, note que os dois primeiros termos ( e ) não dependem de , então a derivada deles em relação a é zero. - Só sobra derivar
. Aqui é constante (pois estamos derivando em ), então:
Resposta
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=15x2+\frac{1}{x}-4y,ex,\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-4e^x.$$