Calcule as seguintes derivadas parciais:
partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) onde f(x, y)=5 x^3+ln (x)-4 y e^x

Passo 1

Então, o enunciado quer que a gente calcule as derivadas parciais de
f(x,y)=5x^3+ln(x)-4y,e^x
isto é, partial fpartial x(x,y) e partial fpartial y(x,y)
Conteúdo: derivadas parciais.
O que vamos precisar:
- Saber o que é derivada parcial (derivar em relação a uma variável, tratando a outra como constante).
- Regras básicas de derivação: potência, logaritmo natural, exponencial e constante.

Passo 2

Primeiro, partial fpartial x.
  1. Definição: derivada parcial em x é como derivar uma função de x, considerando y fixo.
  2. A função é soma de três termos, então a gente deriva cada um e soma o resultado (regra da soma).
    • Derivada de 5x^3 em relação a x usa a regra da potência: ddx(5x^3)=5cdot3x^3-1=15x^2
      - Derivada de ln(x) é a derivada padrão de log natural:
      ddxl(ln(x)r)=1x
    • Derivada de -4y,e^x: aqui y é tratado como constante, e -4y fica de fora. Derivada de e^x é e^x, logo ddxl(-4y,e^xr)=-4ycdot e^x
      3) Então, somando tudo:
      partial fpartial x(x,y)=15x^2+1x-4y,e^x

Passo 3

Agora, partial fpartial y.
  1. Definição: derivada parcial em y é derivar em relação a y, tratando x como constante.
  2. Na expressão f(x,y)=5x^3+ln(x)-4y,e^x, note que os dois primeiros termos ( 5x^3 e ln(x)) não dependem de y, então a derivada deles em relação a y é zero.
  3. Só sobra derivar -4y,e^x. Aqui e^x é constante (pois estamos derivando em y), então: partialpartial yl(-4y,e^xr)=-4e^xcdotddy(y)=-4e^xcdot1=-4e^x

Resposta

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=15x2+\frac{1}{x}-4y,ex,\quad
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-4e^x.$$

Exercícios relacionados