Calcule as seguintes derivadas parciais:
partial fpartial r e partial fpartial theta onde f(x, y)=x^2 y-x^2+y^2, x=r cos theta e y=r sen theta

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para achar as derivadas parciais
f(x,y)=x^2,y ;-;x^2;+;y^2, e x = rcostheta, y = rsintheta
da função
sabendo que
O conteúdo aqui é derivadas parciais usando a regra da cadeia. Vamos precisar de:
  1. e (as derivadas de em relação a e ),
  2. .

Passo 2

A regra da cadeia diz que, se partial fpartial r =;fx,partial xpartial r;+;fy,partial ypartial r, partial fpartial theta =;fx,partial xpartial theta;+;fy,partial ypartial theta depende de e , e estes dependem de , então
Ou seja: primeiro achamos , depois as derivadas de e aplicamos essa fórmula.

Passo 3

Calcular f(x,y)=x^2y - x^2 + y^2 e boxedfx = partialpartial x(x^2y - x^2 + y^2) = 2xy - 2x, :
boxedfy = partialpartial y(x^2y - x^2 + y^2) = x^2 + 2y

Passo 4

Calcular as derivadas de x = rcostheta Longrightarrow partial xpartial r=costheta, partial xpartial theta=-rsintheta e y = rsintheta Longrightarrow partial ypartial r=sintheta, partial ypartial theta=rcostheta :

Passo 5

Agora partial fpartial r = fxcostheta + fysintheta = (2xy-2x)costheta + (x^2+2y)sintheta :
2xy = 2r^2costhetasintheta, 2x = 2rcostheta, x^2 = r^2cos^2theta, 2y = 2rsintheta
Substituindo (2xy-2x)costheta = l(2r^2costhetasintheta-2rcosthetar)costheta =2r^2cos^2thetasintheta -2rcos^2theta, e (x^2+2y)sintheta = l(r^2cos^2theta +2rsinthetar)sintheta = r^2cos^2thetasintheta +2rsin^2theta :
partial fpartial r = l(2r^2cos^2thetasintheta + r^2cos^2thetasinthetar) + l(-2rcos^2theta +2rsin^2thetar)
Então
=3r^2cos^2thetasintheta ;+;2r(sin^2theta-cos^2theta)
Somando:

Passo 6

Agora partial fpartial theta = fx,( -rsintheta ) ;+; fy,( rcostheta ) = -rsintheta,(2xy-2x) + rcostheta,(x^2+2y) :
- rsintheta,(2r^2costhetasintheta-2rcostheta) = -2r^3costhetasin^2theta +2r^2costhetasintheta,
De novo, com rcostheta,(r^2cos^2theta +2rsintheta) = r^3cos^3theta +2r^2sinthetacostheta , partial fpartial theta = l(r^3cos^3theta -2r^3costhetasin^2thetar) + l(2r^2costhetasintheta+2r^2costhetasinthetar) :
= r^3costhetal(cos^2theta -2sin^2thetar) +4r^2sinthetacostheta
Somando:

Resposta

boxed partial fpartial r =3r^2cos^2thetasintheta ;+;2r(sin^2theta-cos^2theta), partial fpartial theta =r^3costhetal(cos^2theta -2sin^2thetar) +4r^2sinthetacostheta

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