Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^3 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3 e^x,dx
Isso faz parte de Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente do tópico de integrais definidas. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Saber que a primitiva (ou antiderivada) de integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a), é mesmo.
  2. Usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
onde é uma primitiva de .

Passo 2

Primeiro, entenda o que é integral definida: é basicamente a “área” sob a curva entre e . Para computar isso de forma analítica, a gente acha uma função cuja derivada seja . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, qual é a primitiva de ddxl(e^xr) = e^x Longrightarrow integral e^x,dx = e^x + C ? A mágica do exponencial é que ele é igual à própria derivada. Ou seja,
Portanto podemos escolher .

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para os limites de integral0^3 e^x,dx = F(3) - F(0) = e^3 - e^0 a :

Passo 5

Só falta lembrar que e^3 - e^0 = e^3 - 1 . Então:

Resposta

integral0^3 e^x,dx = e^3 - 1

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