Calcule as seguintes integrais definidas: integral1^2(x^3-x^2+2x^2) d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2x^3-x^2+2x^2,dx
Isso é um problema de Cálculo, mais precisamente de integração de funções racionais. Para resolver, vamos:
  1. Simplificar a expressão dividindo cada termo pelo ,
  2. Encontrar a primitiva (antiderivada) usando a regra do poder,
  3. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar entre 1 e 2.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando termo a termo:
x^3x^2=x, -x^2x^2=-1, 2x^2=2x^-2
Logo
integral1^2x^3-x^2+2x^2,dx =integral1^2l(x -1 +2x^-2r),dx

Passo 3

Agora achamos a primitiva de cada pedaço usando a regra do poder:
– Para integral 2x^-2,dx = 2cdotx^-1-1 = -2x^-1 , F(x)=x^22-x -2x^-1 .
– Para , .
– Para ,
Portanto uma antiderivada é

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^2(x -1 +2x^-2),dx =F(2)-F(1)
Calculemos:
F(2)=2^22-2-2cdot12 =2-2-1=-1,
F(1)=1^22-1-2cdot1 =tfrac12-1-2=-tfrac52
Logo
F(2)-F(1) = -1 -l(-tfrac52r) = -1 + tfrac52 = tfrac32

Resposta

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