Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, olha o que a questão pede: calcular a integral tripla
Isso envolve integração iterada (ou seja, a gente vai integrar primeiro em
, depois em
e por fim em
). O que vamos usar:
- Regra de integração de polinômios,
- Teorema Fundamental do Cálculo (
), - Propriedade da linearidade da integral.
Passo 2
Primeiro, integra em
. A gente trata
e
como constantes e faz
Antiderivada de
em relação a
é
Então pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 3
Agora simplifica essa diferença:
Logo o integrando em
fica
Passo 4
Integramos agora em
integral0^x A(x),dy = A(x),x, integral0^x B(x),y,dy = B(x),x^22, integral0^x tfrac32,y^2,dy = tfrac32cdotx^33 = x^32 de
A(x),x = l(tfrac32x^2 - x^3 - tfracx^42r)x = tfrac32x^3 - x^4 - tfrac12x^5, até
B(x),x^22 = (3x - x^2),x^22 = 3x^3 - x^42 . Como é linear:
Substituindo
e
:
Somando tudo:
Passo 5
Por fim, integramos
integral0^1 !l(tfrac72x^3 - tfrac32x^4 - tfrac12 x^5r)dx = tfrac72cdottfrac14 - tfrac32cdottfrac15 - tfrac12cdottfrac16 = 78 - 310 - 112 de
105120 - 36120 - 10120 = 59120 a
:
Colocando no mesmo denominador (
):