Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^x integralx^2^x+y x+y+z d z d y d x

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede: calcular a integral tripla
integral0^1!integral0^x!integralx^2^,x+y (x+y+z),dz,dy,dx
Isso envolve integração iterada (ou seja, a gente vai integrar primeiro em , depois em e por fim em ). O que vamos usar:
  • Regra de integração de polinômios,
  • Teorema Fundamental do Cálculo ( ),
  • Propriedade da linearidade da integral.

Passo 2

Primeiro, integra em integralx^2^,x+y (x+y+z),dz . A gente trata F(z) = (x+y),z ;+;z^22 e integralx^2^x+y(x+y+z),dz = l[(x+y)z + tfracz^22r]z=x^2^,z=x+y = l[(x+y)^2+tfrac(x+y)^22r] -l[(x+y)x^2 + tfracx^42r] como constantes e faz
Antiderivada de em relação a é
Então pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 3

Agora simplifica essa diferença:
(x+y)^2+tfrac(x+y)^22 = tfrac32(x+y)^2,
(x+y)x^2 + tfracx^42 = x^3 + x^2y + tfracx^42
Logo o integrando em tfrac32(x+y)^2 ;-;l(x^3 + x^2y + tfracx^42r) = underbracel(tfrac32x^2 - x^3 - tfracx^42r)A(x) + underbracel(3x - x^2r)B(x),y + underbracetfrac32C,y^2 fica

Passo 4

Integramos agora em integral0^x A(x),dy = A(x),x, integral0^x B(x),y,dy = B(x),x^22, integral0^x tfrac32,y^2,dy = tfrac32cdotx^33 = x^32 de A(x),x = l(tfrac32x^2 - x^3 - tfracx^42r)x = tfrac32x^3 - x^4 - tfrac12x^5, até B(x),x^22 = (3x - x^2),x^22 = 3x^3 - x^42 . Como é linear:
I2(x) = tfrac32x^3 - x^4 - tfrac12 x^5 + tfrac3x^3 - x^42 + tfracx^32 = tfrac72x^3 - tfrac32x^4 - tfrac12 x^5
Substituindo e :
Somando tudo:

Passo 5

Por fim, integramos integral0^1 !l(tfrac72x^3 - tfrac32x^4 - tfrac12 x^5r)dx = tfrac72cdottfrac14 - tfrac32cdottfrac15 - tfrac12cdottfrac16 = 78 - 310 - 112 de 105120 - 36120 - 10120 = 59120 a :
Colocando no mesmo denominador ( ):

Resposta

boxed59120

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