Considere a função: f(x, y)=lx^3+y^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0).
(a) Prove que f(x, y) é contínua em (0,0);

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. Temos a função
f(x,y)= dfracx^3+y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0)
O assunto aqui é continuidade em várias variáveis, mais precisamente provar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Para isso vamos usar a definição de limite em e umas desigualdazinhas básicas.

Passo 2

Primeiro, lembre que para l|f(x,y)r| =|x^3+y^3x^2+y^2| <= |x^3|+|y^3|x^2+y^2 vale
|x^3|x^2+y^2<= |x^3|x^2=|x|
Agora note que |f(x,y)|<=|x|+|y| , então
De modo análogo . Assim

Passo 3

Fazendo a ligação com a distância ao ponto r=raizx^2+y^2 , definimos
|f(x,y)|<= |x|+|y|<= r + r = 2r
Sabemos que e , logo

Passo 4

Agora vem a parte “ de- |f(x,y)-0| = |f(x,y)| <= 2r < 2de” para formalizar o limite. Dado qualquer , escolha
Se , isto é , então
Isso mostra justamente que .

Resposta

Logo, é contínua em , pois .

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