Considere a função:
.
(a) Prove que
é contínua em
;
(a) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. Temos a função
O assunto aqui é continuidade em várias variáveis, mais precisamente provar que
Para isso vamos usar a definição de limite em
e umas desigualdazinhas básicas.
Passo 2
Primeiro, lembre que para
l|f(x,y)r| =|x^3+y^3x^2+y^2| <= |x^3|+|y^3|x^2+y^2 vale
Agora note que
|f(x,y)|<=|x|+|y| , então
De modo análogo
. Assim
Passo 3
Fazendo a ligação com a distância ao ponto
r=raizx^2+y^2 , definimos
Sabemos que
e
, logo
Passo 4
Agora vem a parte “
de -
|f(x,y)-0| = |f(x,y)| <= 2r < 2de ” para formalizar o limite. Dado qualquer
, escolha
Se
, isto é
, então
Isso mostra justamente que
.
Resposta
Logo,
é contínua em
, pois
.