Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^1-x integralx^2^1-y^2 z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vou te explicar quais são os dados e o que precisamos usar. A questão pede para calcular a integral tripla
integral0^1 !integral0^1-x!integralx^2^1-y^2 z ,dz,dy,dx
Isso faz parte de Cálculo II, mais especificamente de integração múltipla. Para resolver, vamos usar a regra de Fubini (integrar sequência de integrais simples) e antiderivadas básicas, tipo
integral z,dz = tfracz^22, integral y^n,dy = tfracy^n+1n+1, etc

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a integralz=x^2^,1-y^2 z,dz = z^22|z=x^2^,1-y^2 = (1-y^2)^22 - (x^2)^22 = 1 - 2y^2 + y^4 - x^42 , tratando integral0^1!integral0^1-x 1 - 2y^2 + y^4 - x^42,dy,dx = 12 integral0^1!integral0^1-x l(1 - 2y^2 + y^4 - x^4r),dy,dx e como constantes:
Então a integral vira

Passo 3

Agora integramos em integral0^1-x (1 - 2y^2 + y^4 - x^4),dy = l[y - tfrac2y^33 + tfracy^55 - x^4 yr]0^1-x . Cada parte:
  • (1-x) - 2(1-x)^33 + (1-x)^55 - x^4(1-x) .
  • 12 integral0^1l[(1-x) - tfrac2(1-x)^33 + tfrac(1-x)^55 - x^4(1-x)r],dx
Avalia de até :
Substituindo :
Logo, depois dessa etapa a integral é

Passo 4

Por fim, integramos em 12l[F(1)-F(0)r] ;=;12l(tfrac715-tfrac215r) = 12cdot515 = 16 termo a termo. Vou esboçar o resultado da primitiva :
Somando tudo, avaliamos de 0 a 1 e multiplicamos por . Fazendo as contas dá

Resposta

boxed16

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