Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 integral0^x^2 e^yx d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral dupla
integral0^1!integral0^x^2 e^tfracyx ,dy,dx
Isso é parte de Cálculo Multivariável (ou Cálculo II), onde a gente usa integrais iteradas.
O que vamos precisar:
  • Saber integrar em relação a , tratando como constante.
  • Depois, integrar a função resultante em relação a .
  • E também usar técnica de integração por partes pra resolver .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a integral interna
integral0^x^2 e^tfracyx ,dy
Teoria rápida: se integral e^a y,dy = 1a,e^a y é constante,
integral e^tfracyx,dy = 1(1/x),e^tfracyx = x,e^tfracyx
Aqui integral0^x^2 e^tfracyx,dy = l[x,e^tfracyxr]0^x^2 = x,e^tfracx^2x ;-; x,e^0 = xl(e^x - 1r) , pois .
Então
Agora aplicamos os limites até :

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, vira
integral0^1 xl(e^x-1r),dx = integral0^1 x,e^x,dx ;-; integral0^1 x,dx
Agora a gente resolve cada pedaço.

Passo 4

  1. u = x, dv = e^xdx .
    Vamos fazer por partes: escolhemos
    du = dx, v = e^x
    daí
    integral x,e^x,dx = x,e^x - integral e^x,dx = x,e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C
    A fórmula é l[e^x(x-1)r]0^1 = l(e^1(1-1)r) - l(e^0(0-1)r) = 0 - (-1) = 1 .
    Então
    Avaliando de 0 a 1:

Resposta

Juntando tudo:
integral0^1!integral0^x^2 e^tfracyx,dy,dx = 1 - tfrac12 = boxedtfrac12

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