(opcional) Responda as questões abaixo:
© Sabendo que
, use a aproximação acima para estabelecer que
para
grande.
© Sabendo que
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um exercício que pede pra “mostrar” que, usando a expansão em série de arctan, rola chegar na fórmula
quando
é bem grande.
Matéria envolvida: séries de Taylor (ou Maclaurin), mais especificamente a série de .
O que vamos precisar:
Matéria envolvida: séries de Taylor (ou Maclaurin), mais especificamente a série de
O que vamos precisar:
- Saber que
. - Conhecer a série geométrica
para . - Integrar termo a termo essa série pra chegar na expansão de
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Aí, pela série geométrica, para
,
Passo 3
Como
, integramos essa série de
a
:
Integrando
dá
, logo
Passo 4
Agora avaliamos em
. Sabemos que
. Então
Multiplicando tudo por 4:
Se em vez de somar até o infinito você corta a soma até
, fica uma aproximação. Reindexando (faça
) dá exatamente
para
bem grande.