(opcional) Responda as questões abaixo:
© Sabendo que tan ^-1(1)=pi / 4, use a aproximação acima para estabelecer que
pi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12 k-1
para n grande.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um exercício que pede pra “mostrar” que, usando a expansão em série de arctan, rola chegar na fórmula
pi ;approx; 4 sumk=1^n (-1)^k+12k-1
quando é bem grande.
Matéria envolvida: séries de Taylor (ou Maclaurin), mais especificamente a série de .
O que vamos precisar:
  1. Saber que .
  2. Conhecer a série geométrica para .
  3. Integrar termo a termo essa série pra chegar na expansão de .

Passo 2

Primeiro, escrevemos
11+x^2 ;=; 11+u com u=x^2
Aí, pela série geométrica, para 11+x^2 =sumk=0^infty(-1)^kl(x^2r)^k =sumk=0^infty(-1)^k x^2k ,

Passo 3

Como arctan(x) =integral0^x 11+t^2,dt =integral0^x sumk=0^infty(-1)^k t^2k,dt =sumk=0^infty(-1)^kintegral0^x t^2k,dt , integramos essa série de arctan(x) =sumk=0^infty(-1)^k,x^2k+12k+1 a :
Integrando , logo

Passo 4

Agora avaliamos em pi4 =sumk=0^infty(-1)^k,1^2k+12k+1 =sumk=0^infty(-1)^k2k+1 . Sabemos que pi =4sumk=0^infty(-1)^k2k+1 . Então
piapprox 4sumk=1^n(-1)^k+12k-1,
Multiplicando tudo por 4:
Se em vez de somar até o infinito você corta a soma até , fica uma aproximação. Reindexando (faça ) dá exatamente
para bem grande.

Resposta

boxedpi approx 4 sumk=1^n (-1)^k+12k-1

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