Calcule as seguintes integrais:
integral0^1 xraizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, a gente quer calcular a integral
integral0^1 xraizx^2+1,dx
Isso faz parte de “Integração por Substituição” e do “Teorema Fundamental do Cálculo”.
Para resolver, você precisa saber:
  1. como achar uma antiderivada (primitiva) de uma função;
  2. usar troca de variável (substituição) para simplificar a integral;
  3. avaliar a primitiva nos limites de 0 a 1.

Passo 2

A técnica de substituição funciona assim: se você vê algo do tipo u = x^2 + 1 junto com uma expressão em du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2 , dá pra trocar pra uma variável nova. Vamos definir
Agora, derivando ambos os lados em relação a , temos
Também trocamos os limites: quando , ; quando , .

Passo 3

Substituindo na integral:
[
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}},dx

\int_{u=1}^{u=2}
\frac{1}{\sqrt{u}};\Bigl(\frac{du}{2}\Bigr)

\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-\tfrac12},du.
]
Para achar a antiderivada de integral0^1 xraizx^2+1,dx = integralu=1^u=2 1raizu;l(du2r) = 12integral1^2 u^-tfrac12,du , usamos a regra geral integral u^-tfrac12,du = u^-tfrac12+1-tfrac12+1 = u^tfrac12tfrac12 = 2,u^tfrac12 . Aqui 12cdot 2,u^tfrac12 = u^tfrac12 = raizu , então
Multiplicando pelo lá na frente, a primitiva fica

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando integral1^2 12,u^-tfrac12,du = l[raizur]1^2 = raiz2 - raiz1 = raiz2 - 1 de 1 a 2:

Resposta

boxedraiz2 - 1

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