Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, a gente quer calcular a integral
Isso faz parte de “Integração por Substituição” e do “Teorema Fundamental do Cálculo”.
Para resolver, você precisa saber:
Para resolver, você precisa saber:
- como achar uma antiderivada (primitiva) de uma função;
- usar troca de variável (substituição) para simplificar a integral;
- avaliar a primitiva nos limites de 0 a 1.
Passo 2
A técnica de substituição funciona assim: se você vê algo do tipo
junto com uma expressão em
, dá pra trocar pra uma variável nova. Vamos definir
Agora, derivando ambos os lados em relação a
, temos
Também trocamos os limites: quando
,
; quando
,
.
Passo 3
Substituindo na integral:
[
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}},dx
\int_{u=1}^{u=2}
\frac{1}{\sqrt{u}};\Bigl(\frac{du}{2}\Bigr)
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-\tfrac12},du.
]
]
Para achar a antiderivada de
, usamos a regra geral
. Aqui
, então
Multiplicando pelo
lá na frente, a primitiva fica
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando
de 1 a 2: