Calcule os seguintes limites, caso existam ou mostre que não existe: .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Conteúdo: limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber o que significa limite em e usar coordenadas polares para mostrar que, independente de como nos aproximamos de , a expressão tende ao mesmo valor.
Passo 2
Antes de tudo, lembra do conceito: em dizemos que
se, para todo caminho que leve até , se aproxima de .
Uma forma rápida de “testar” é pegar retas . Substituindo:
Quando , isso vai para para qualquer . Até aí, todas as retas dão , mas isso não é prova completa — só um indício.
Passo 3
Para afirmar que o limite existe e vale , usamos coordenadas polares:
Substituindo na expressão:
Agora, aplicamos valor absoluto e usamos desigualdade simples:
Como , . Pelo Teorema do Confronto, esse limite em tudo que vá a é .