Calcule os seguintes limites, caso existam ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0) x^5-y^5x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y)to(0,0) x^5 - y^5x^2 + y^2
Conteúdo: limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar saber o que significa limite em e usar coordenadas polares para mostrar que, independente de como nos aproximamos de , a expressão tende ao mesmo valor.

Passo 2

Antes de tudo, lembra do conceito: em lim(x,y)to(0,0) f(x,y) = L dizemos que
x^5 - y^5x^2 + y^2 = x^5 - (kx)^5x^2 + (kx)^2 = x^5l(1 - k^5r)x^2l(1+k^2r) = x^3;1 - k^51+k^2
se, para todo caminho que leve até , se aproxima de .
Uma forma rápida de “testar” é pegar retas . Substituindo:
Quando , isso vai para para qualquer . Até aí, todas as retas dão , mas isso não é prova completa — só um indício.

Passo 3

Para afirmar que o limite existe e vale x = rcostheta, y = rsintheta, r = raizx^2 + y^2, rto0 , usamos coordenadas polares:
x^5 - y^5x^2 + y^2 = r^5cos^5theta - r^5sin^5thetar^2 = r^3l(cos^5theta - sin^5thetar)
Substituindo na expressão:
|x^5 - y^5x^2 + y^2| = l|r^3(cos^5theta - sin^5theta)r| <= r^3l(|cos^5theta| + |sin^5theta|r) <= r^3,(1 + 1) = 2,r^3
Agora, aplicamos valor absoluto e usamos desigualdade simples:
Como , . Pelo Teorema do Confronto, esse limite em tudo que vá a é .

Resposta

lim(x,y)to(0,0) x^5 - y^5x^2 + y^2 = 0

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