Considere a função f(x, y) dada por
A função f(x, y)= x^3 y^3x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é diferenciável em f(x, y)? Justifique!

Passo 1

Beleza, o exercício tá perguntando se a função
f(x, y)= x^3 y^3x^4+y^4, & (x, y)neq(0,0),[6pt] 0, & (x, y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo é “diferenciabilidade de funções de duas variáveis” e, pra resolver, a gente vai precisar:
  1. entender o que é diferenciabilidade em (0,0);
  2. calcular as derivadas parciais em (0,0);
  3. ver se o resto da expansão fica pequeno demais (tesão o famoso “erro é o(raizx^2+y^2)”).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais em (0,0). Lembra que
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Mas se y=0, a definição diz f(h,0)=0 (porque x^4+y^4=h^4 e x^3y^3=0), então
partial fpartial x(0,0) =limhto00-0h=0
Do mesmo jeitinho, partial f/partial y(0,0)=0.

Passo 3

Quando a gente acha as parciais e elas são finitas, o candidato a aproximação linear (o “plano tangente”) é
L(x,y)=f(0,0)+partial fpartial x(0,0),x+partial fpartial y(0,0),y =0
Ou seja, a gente supõe que
f(x,y) approx 0 + 0cdot x + 0cdot y = 0
perto da origem.

Passo 4

Agora precisa ver se o “erro”
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)
é realmente um o(raizx^2+y^2). A definição diz que
lim(x,y)to(0,0)|R(x,y)|raizx^2+y^2=0
Vamos pegar
|f(x,y)|=|x^3y^3x^4+y^4|
Usamos uma desigualdade clássica (AM–GM):
x^4+y^4>=2x^2y^2 Longrightarrow l|f(x,y)r|<=|x|^3|y|^32x^2y^2 =|x,y|2
Além disso, outra desigualdade simples diz
|x,y|<=x^2+y^22
Logo
|f(x,y)|<=x^2+y^24
Sejam r=raizx^2+y^2. Então
|f(x,y)|r<=r^2/4r=r4,
e quando (x,y)to(0,0), rto0 implica r4to0. Isso prova que o erro é realmente menor que qualquer constante vezes r, logo é o(r).

Resposta

Sim, a função f(x,y) é diferenciável em (0,0). O diferencial ali é o mapa linear nulo (todos coeficientes zero).

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