Considere a função
dada por
A função
é diferenciável em
? Justifique!
Passo 1
Beleza, o exercício tá perguntando se a função
é diferenciável em
(0,0) . O conteúdo é “diferenciabilidade de funções de duas variáveis” e, pra resolver, a gente vai precisar:
- entender o que é diferenciabilidade em
;(0,0) - calcular as derivadas parciais em
;(0,0) - ver se o resto da expansão fica pequeno demais (tesão o famoso “erro é
”).o(raizx^2+y^2)
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas parciais em
(0,0) . Lembra que
Mas se
y=0 , a definição diz
f(h,0)=0 (porque
x^4+y^4=h^4 e
x^3y^3=0 ), então
Do mesmo jeitinho,
partial f/partial y(0,0)=0 .
Passo 3
Quando a gente acha as parciais e elas são finitas, o candidato a aproximação linear (o “plano tangente”) é
Ou seja, a gente supõe que
perto da origem.
Passo 4
Agora precisa ver se o “erro”
é realmente um
o(raizx^2+y^2) . A definição diz que
Vamos pegar
Usamos uma desigualdade clássica (AM–GM):
Além disso, outra desigualdade simples diz
Logo
Sejam
r=raizx^2+y^2 . Então
e quando
(x,y)to(0,0) ,
rto0 implica
r4to0 . Isso prova que o erro é realmente menor que qualquer constante vezes
r , logo é
o(r) .
Resposta
Sim, a função
f(x,y) é diferenciável em
(0,0) . O diferencial ali é o mapa linear nulo (todos coeficientes zero).