Calcule os seguintes limites laterais,
lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x)
onde

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente calcular os limites laterais de uma função definida por partes em :
  • (vindo da esquerda)
  • (vindo da direita)
O conteúdo envolvido é limite de função e, mais especificamente, limites laterais em funções por partes. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Entender o que é limite lateral.
  2. Identificar qual “ramo” da função entra em jogo para e para .
  3. Substituir por 2 em cada ramo correspondente (quando a função for contínua naquele lado).

Passo 2

Primeiro, vale lembrar a definição de limite lateral:
  • f(x)= 3x, & x <= 2, x^2, & x > 2 significa “o valor que se aproxima quando chega em por valores menores que ”.
  • é “o valor que se aproxima quando chega em por valores maiores que ”.
No nosso caso, . A função é

Passo 3

Vamos calcular limxto2^-f(x) = limxto2^-(3x) =3cdot 2 =6 .
  1. Como , fica sempre menor (ou igual) que 2.
  2. Nesse intervalo, a definição de é .
  3. E como é uma função polinomial (sempre contínua), podemos simplesmente trocar por 2:

[
\lim_{x\to2^-}f(x)

\lim_{x\to2^-}(3x)
=3\cdot 2
=6.
]

Passo 4

Agora limxto2^+f(x) = limxto2^+(x^2) =2^2 =4 .
  1. Quando , fica maior que 2.
  2. Aí usamos o ramo .
  3. De novo, é contínua, então coloca :

[
\lim_{x\to2^+}f(x)

\lim_{x\to2+}(x2)
=2^2
=4.
]

Resposta


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