O enunciado pede para calcular a série de Taylor da função f(x)=\dfrac{1}{x} em torno de x=1. Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} e o ponto de expansão (centro) é a=1. A resposta esperada sugerida é a série
f(x)=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots
A partir daqui vamos construir a série passo a passo e justificar a convergência.
Passo 2
Lembrete da fórmula de Taylor (expansão em torno de a): se f é suficientemente diferenciável em torno de a, então
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a. Aqui a=1. Nosso objetivo é calcular f^{(n)}(1) para todos n e substituir na fórmula acima. Vou explicar o que cada símbolo significa: f^{(n)}(a) é a derivada de ordem n de f em a; n! é o fatorial de n; (x-a)^n é a potência que gera os termos da série.
Passo 3
Calcular as primeiras derivadas de f(x)=x^{-1} para identificar um padrão:
f(x)=x^{-1},
f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2},
f''(x)=(-x^{-2})' = 2x^{-3},
f^{(3)}(x)=(2x^{-3})' = -6x^{-4}.
Observando esses resultados percebemos o padrão geral. Vou provar por indução a fórmula fechada
f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\, x^{-n-1}.
Base n=0: f^{(0)}(x)=f(x)=x^{-1} e a fórmula dá (-1)^0 0! x^{-1}=x^{-1}, ok. Passo indutivo: suponha verdadeiro para n; então
A série geométrica converge quando esse limite é menor que 1, ou seja quando |x-1|<1. Alternativamente, sabemos que a função 1/x tem um único ponto singular mais próximo de x=1 em x=0, cuja distância até 1 é 1, o que determina o raio de convergência igual a 1. Nos pontos extremos x=0 e x=2 a série não converge (em x=0 os termos não tendem a zero; em x=2 os termos oscilam entre 1 e -1, também não tendem a zero), então os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Passo 7
Resumo didático final: a série de Taylor de f(x)=1/x centrada em x=1 é a série geométrica com razão -(x-1). Os coeficientes vêm das derivadas f^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!, o que dá coeficiente (-1)^{n} para (x-1)^{n}. A série converge exatamente para |x-1|<1.