Calcule a série de Taylor da função f(x)=1 / x em torno de x=1.
\text { Resposta: } f(x)=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+(x-1)^{4}-(x-1)^{5} \cdots

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série de Taylor da função f(x)=\dfrac{1}{x} em torno de x=1. Informações dadas: a função é f(x)=\dfrac{1}{x} e o ponto de expansão (centro) é a=1. A resposta esperada sugerida é a série
f(x)=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots
A partir daqui vamos construir a série passo a passo e justificar a convergência.

Passo 2

Lembrete da fórmula de Taylor (expansão em torno de a): se f é suficientemente diferenciável em torno de a, então
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n},
onde f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a. Aqui a=1. Nosso objetivo é calcular f^{(n)}(1) para todos n e substituir na fórmula acima. Vou explicar o que cada símbolo significa: f^{(n)}(a) é a derivada de ordem n de f em a; n! é o fatorial de n; (x-a)^n é a potência que gera os termos da série.

Passo 3

Calcular as primeiras derivadas de f(x)=x^{-1} para identificar um padrão:
f(x)=x^{-1},
f'(x)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2},
f''(x)=(-x^{-2})' = 2x^{-3},
f^{(3)}(x)=(2x^{-3})' = -6x^{-4}.
Observando esses resultados percebemos o padrão geral. Vou provar por indução a fórmula fechada
f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\, x^{-n-1}.
Base n=0: f^{(0)}(x)=f(x)=x^{-1} e a fórmula dá (-1)^0 0! x^{-1}=x^{-1}, ok. Passo indutivo: suponha verdadeiro para n; então
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\big[(-1)^{n} n!\, x^{-n-1}\big]=(-1)^{n} n!\,(-n-1)\,x^{-n-2}=(-1)^{n+1}(n+1)!\,x^{-n-2},
o que confirma a fórmula para n+1. Logo a fórmula vale para todo n\ge0.

Passo 4

Agora avaliamos as derivadas em x=1:
f^{(n)}(1)=(-1)^{n} n!\,1^{-n-1}=(-1)^{n} n!.
Substituindo na fórmula de Taylor (com a=1) obtemos os coeficientes
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{n} n!}{n!}=(-1)^{n}.
Portanto a série de Taylor fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}.
Escrevendo os primeiros termos:
f(x)=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots,
que coincide com a resposta sugerida.

Passo 5

Uma interpretação alternativa, mais direta e que ajuda na prova de convergência: faça a mudança u=x-1. Então
f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{1+u}.
Para |u|<1 a série geométrica dá
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-u)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n},
ou seja
\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}\quad\text{para }|x-1|<1.
Isso mostra a mesma série de modo mais intuitivo (geometria algébrica).

Passo 6

Agora vamos justificar o raio de convergência. Os termos gerais da série são a_{n}=(-1)^{n}(x-1)^{n}. Pelo teste da razão (ou pelo teste da raiz),
\lim_{n\to\infty}\big|a_{n+1}/a_{n}\big|=\lim_{n\to\infty}|x-1|=|x-1|.
A série geométrica converge quando esse limite é menor que 1, ou seja quando |x-1|<1. Alternativamente, sabemos que a função 1/x tem um único ponto singular mais próximo de x=1 em x=0, cuja distância até 1 é 1, o que determina o raio de convergência igual a 1. Nos pontos extremos x=0 e x=2 a série não converge (em x=0 os termos não tendem a zero; em x=2 os termos oscilam entre 1 e -1, também não tendem a zero), então os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 7

Resumo didático final: a série de Taylor de f(x)=1/x centrada em x=1 é a série geométrica com razão -(x-1). Os coeficientes vêm das derivadas f^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!, o que dá coeficiente (-1)^{n} para (x-1)^{n}. A série converge exatamente para |x-1|<1.

Resposta

\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}=1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots\quad\text{para }|x-1|<1.

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