A aproximação deve ser centrada (usa pontos simétricos em torno de x).
Também nos pedem a ordem da aproximação (ou seja, qual é a potência de \Delta_{x} que domina o erro).
Nenhuma outra informação é necessária: vamos usar séries de Taylor em torno de x para obter condições sobre A,B,C,D,E.
Passo 2
Explicando a ferramenta principal: a série de Taylor.
Para uma função suave f, a expansão de Taylor em torno de x para o ponto x+h é
A mesma coisa vale para x-h trocando h por -h.
Aqui vamos tomar h=\Delta_{x}. Vou escrever as expansões até a ordem h^{5} porque, ao dividir a combinação por h, o termo em h^{5} dá contribuição de ordem h^{4} no erro — isto é necessário para identificar corretamente a ordem da aproximação.
Passo 3
Escrevo as quatro expansões necessárias (tudo em torno de x, com h=\Delta_{x}):
N \equiv A f(x+2h)+B f(x+h)+C f(x)+D f(x-h)+E f(x-2h),
e substituímos as expansões para agrupar termos por potências de h e por derivadas f^{(k)}(x). Vou listar o coeficiente multiplicador de cada derivada em N.
Coeficiente do termo f(x):
A + B + C + D + E.
Coeficiente do termo f'(x) (multiplicado por h):
(2A) + (1B) + (0\cdot C) + (-1)D + (-2)E = 2A + B - D - 2E.
Coeficiente do termo f''(x) (multiplicado por h^{2}):
2A + \tfrac{1}{2}B + 0\cdot C + \tfrac{1}{2}D + 2E.
(Usei que em f(x\pm 2h) o coef. de f'' é 2, e em f(x\pm h) é \tfrac{1}{2}.)
Coeficiente do termo f^{(3)}(x) (multiplicado por h^{3}):
Queremos que \dfrac{N}{h} aproxime f'(x) com alta precisão. Isso significa que, na expansão de N,
o termo na ordem h^{0} (o coeficiente de f(x)) deve ser zero, senão dividir por h produziria um erro de ordem 1/h (inaceitável),
os coeficientes dos termos que, após dividir por h, gerariam termos em h^{1},h^{2},h^{3} no erro devem ser zerados, ou seja: as contribuições de f''(x) (ordem h^{2} em N), de f^{(3)}(x) (ordem h^{3}) e de f^{(4)}(x) (ordem h^{4}) devem ser anuladas.
o coeficiente do termo em f'(x) (o que multiplica h em N) deve ser igual a 1, porque queremos N = h f'(x) + termos de ordem superior.
Assim obtemos o sistema de cinco equações lineares para A,B,C,D,E:
\begin{aligned} &\text{(i) } & A + B + C + D + E &= 0,\\[4pt] &\text{(ii) } & 2A + B - D - 2E &= 1,\\[4pt] &\text{(iii) } & 2A + \tfrac{1}{2}B + \tfrac{1}{2}D + 2E &= 0,\\[4pt] &\text{(iv) } & \tfrac{4}{3}A + \tfrac{1}{6}B - \tfrac{1}{6}D - \tfrac{4}{3}E &= 0,\\[4pt] &\text{(v) } & \tfrac{2}{3}A + \tfrac{1}{24}B + \tfrac{1}{24}D + \tfrac{2}{3}E &= 0. \end{aligned}]
Passo 6
Usando simetria (argumento prático e padrão para diferenças centrais de derivada ímpar):
Para uma aproximação centrada do primeiro derivada usando pontos simétricos, os pesos devem ser anti-simétricos em relação a x: o peso associado a x+2h é o negativo do peso associado a x-2h, o peso em x+h é o negativo do peso em x-h, e o peso em x (ponto central) é zero. Em símbolos isso sugere
C = 0,\qquad E = -A,\qquad D = -B.
Isso facilita bastante a resolução (e é justificado pelo fato de que a derivada é uma operação ímpar sob reflexão h\mapsto -h; portanto a combinação que aproxima a derivada deve ser ímpar também).
Agora substituo essas relações no sistema para confirmar e achar A,B.
Passo 7
Substituindo C=0, D=-B, E=-A nas equações (verifico que as equações de paridade pares ficam satisfeitas automaticamente), emprego as equações (ii) e (iv) que dão condições para A,B:
Da equação (ii) (coef. de f'):
2A + B - (-B) - 2(-A) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A + B + B + 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad 4A + 2B = 1.