(a) Utilize a série de Taylor para deduzir uma aproximação centrada para \frac{d f(x)}{d x} da forma
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{A f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+B f\left(x+\Delta_{x}\right)+C f(x)+D f\left(x-\Delta_{x}\right)+E f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{\Delta_{x}} .
(b) qual é a ordem da aproximação solicitada no item acima?
\text { Respostas: } \frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{-f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+8 f\left(x+\Delta_{x}\right)-8 f\left(x-\Delta_{x}\right)+f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{12 \Delta_{x}}
-Quarta-ordem

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma aproximação centrada para \dfrac{d f(x)}{d x} da forma
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{A f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+B f\left(x+\Delta_{x}\right)+C f(x)+D f\left(x-\Delta_{x}\right)+E f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{\Delta_{x}}.
As informações relevantes que temos são:
  • Queremos determinar os coeficientes A,B,C,D,E.
  • A aproximação deve ser centrada (usa pontos simétricos em torno de x).
  • Também nos pedem a ordem da aproximação (ou seja, qual é a potência de \Delta_{x} que domina o erro).
    Nenhuma outra informação é necessária: vamos usar séries de Taylor em torno de x para obter condições sobre A,B,C,D,E.

Passo 2

Explicando a ferramenta principal: a série de Taylor.
  • Para uma função suave f, a expansão de Taylor em torno de x para o ponto x+h é
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2!}h^{2}+\frac{f^{(3)}(x)}{3!}h^{3}+\frac{f^{(4)}(x)}{4!}h^{4}+\frac{f^{(5)}(x)}{5!}h^{5}+\cdots.
  • A mesma coisa vale para x-h trocando h por -h.
    Aqui vamos tomar h=\Delta_{x}. Vou escrever as expansões até a ordem h^{5} porque, ao dividir a combinação por h, o termo em h^{5} dá contribuição de ordem h^{4} no erro — isto é necessário para identificar corretamente a ordem da aproximação.

Passo 3

Escrevo as quatro expansões necessárias (tudo em torno de x, com h=\Delta_{x}):
\begin{aligned} f(x+h) &= f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^{2} + \frac{f^{(3)}(x)}{6}h^{3} + \frac{f^{(4)}(x)}{24}h^{4} + \frac{f^{(5)}(x)}{120}h^{5} + \cdots,\\[6pt] f(x-h) &= f(x) - f'(x)h + \frac{f''(x)}{2}h^{2} - \frac{f^{(3)}(x)}{6}h^{3} + \frac{f^{(4)}(x)}{24}h^{4} - \frac{f^{(5)}(x)}{120}h^{5} + \cdots,\\[6pt] f(x+2h) &= f(x) + f'(x)(2h) + \frac{f''(x)}{2}(2h)^{2} + \frac{f^{(3)}(x)}{6}(2h)^{3} + \frac{f^{(4)}(x)}{24}(2h)^{4} + \frac{f^{(5)}(x)}{120}(2h)^{5} + \cdots,\\[6pt] f(x-2h) &= f(x) - f'(x)(2h) + \frac{f''(x)}{2}(2h)^{2} - \frac{f^{(3)}(x)}{6}(2h)^{3} + \frac{f^{(4)}(x)}{24}(2h)^{4} - \frac{f^{(5)}(x)}{120}(2h)^{5} + \cdots. \end{aligned}
Vou simplificar os coeficientes combinando potências de 2 onde for conveniente:
\begin{aligned} f(x+2h) &= f(x) + 2h f'(x) + 2h^{2} f''(x) + \frac{4}{3}h^{3} f^{(3)}(x) + \frac{2}{3}h^{4} f^{(4)}(x) + \frac{32}{120}h^{5} f^{(5)}(x) + \cdots,\\[4pt] f(x-2h) &= f(x) - 2h f'(x) + 2h^{2} f''(x) - \frac{4}{3}h^{3} f^{(3)}(x) + \frac{2}{3}h^{4} f^{(4)}(x) - \frac{32}{120}h^{5} f^{(5)}(x) + \cdots. \end{aligned}
(Obs.: \dfrac{(2h)^{3}}{6}=\dfrac{8h^{3}}{6}=\dfrac{4}{3}h^{3}, \dfrac{(2h)^{4}}{24}=\dfrac{16h^{4}}{24}=\dfrac{2}{3}h^{4}, \dfrac{(2h)^{5}}{120}=\dfrac{32h^{5}}{120}.)]

Passo 4

Agora formamos a combinação linear do numerador
N \equiv A f(x+2h)+B f(x+h)+C f(x)+D f(x-h)+E f(x-2h),
e substituímos as expansões para agrupar termos por potências de h e por derivadas f^{(k)}(x). Vou listar o coeficiente multiplicador de cada derivada em N.
Coeficiente do termo f(x):
A + B + C + D + E.
Coeficiente do termo f'(x) (multiplicado por h):
(2A) + (1B) + (0\cdot C) + (-1)D + (-2)E = 2A + B - D - 2E.
Coeficiente do termo f''(x) (multiplicado por h^{2}):
2A + \tfrac{1}{2}B + 0\cdot C + \tfrac{1}{2}D + 2E.
(Usei que em f(x\pm 2h) o coef. de f'' é 2, e em f(x\pm h) é \tfrac{1}{2}.)
Coeficiente do termo f^{(3)}(x) (multiplicado por h^{3}):
\frac{4}{3}A + \frac{1}{6}B - \frac{1}{6}D - \frac{4}{3}E.
Coeficiente do termo f^{(4)}(x) (multiplicado por h^{4}):
\frac{2}{3}A + \frac{1}{24}B + \frac{1}{24}D + \frac{2}{3}E.
Coeficiente do termo f^{(5)}(x) (multiplicado por h^{5}):
\frac{32}{120}A + \frac{1}{120}B - \frac{1}{120}D - \frac{32}{120}E.

Passo 5

Queremos que \dfrac{N}{h} aproxime f'(x) com alta precisão. Isso significa que, na expansão de N,
  • o termo na ordem h^{0} (o coeficiente de f(x)) deve ser zero, senão dividir por h produziria um erro de ordem 1/h (inaceitável),
  • os coeficientes dos termos que, após dividir por h, gerariam termos em h^{1},h^{2},h^{3} no erro devem ser zerados, ou seja: as contribuições de f''(x) (ordem h^{2} em N), de f^{(3)}(x) (ordem h^{3}) e de f^{(4)}(x) (ordem h^{4}) devem ser anuladas.
  • o coeficiente do termo em f'(x) (o que multiplica h em N) deve ser igual a 1, porque queremos N = h f'(x) + termos de ordem superior.
Assim obtemos o sistema de cinco equações lineares para A,B,C,D,E:
\begin{aligned} &\text{(i) } & A + B + C + D + E &= 0,\\[4pt] &\text{(ii) } & 2A + B - D - 2E &= 1,\\[4pt] &\text{(iii) } & 2A + \tfrac{1}{2}B + \tfrac{1}{2}D + 2E &= 0,\\[4pt] &\text{(iv) } & \tfrac{4}{3}A + \tfrac{1}{6}B - \tfrac{1}{6}D - \tfrac{4}{3}E &= 0,\\[4pt] &\text{(v) } & \tfrac{2}{3}A + \tfrac{1}{24}B + \tfrac{1}{24}D + \tfrac{2}{3}E &= 0. \end{aligned}]

Passo 6

Usando simetria (argumento prático e padrão para diferenças centrais de derivada ímpar):
  • Para uma aproximação centrada do primeiro derivada usando pontos simétricos, os pesos devem ser anti-simétricos em relação a x: o peso associado a x+2h é o negativo do peso associado a x-2h, o peso em x+h é o negativo do peso em x-h, e o peso em x (ponto central) é zero. Em símbolos isso sugere
C = 0,\qquad E = -A,\qquad D = -B.
Isso facilita bastante a resolução (e é justificado pelo fato de que a derivada é uma operação ímpar sob reflexão h\mapsto -h; portanto a combinação que aproxima a derivada deve ser ímpar também).
Agora substituo essas relações no sistema para confirmar e achar A,B.

Passo 7

Substituindo C=0, D=-B, E=-A nas equações (verifico que as equações de paridade pares ficam satisfeitas automaticamente), emprego as equações (ii) e (iv) que dão condições para A,B:
Da equação (ii) (coef. de f'):
2A + B - (-B) - 2(-A) = 1 \quad\Rightarrow\quad 2A + B + B + 2A = 1 \quad\Rightarrow\quad 4A + 2B = 1.
Dividindo por 2:
2A + B = \tfrac{1}{2}. \tag{1}
Da equação (iv) (coef. de f^{(3)}):
\frac{4}{3}A + \frac{1}{6}B - \frac{1}{6}(-B) - \frac{4}{3}(-A) = 0
\Rightarrow \frac{4}{3}A + \frac{1}{6}B + \frac{1}{6}B + \frac{4}{3}A = 0
\Rightarrow \frac{8}{3}A + \frac{1}{3}B = 0.
Multiplicando por 3:
8A + B = 0. \tag{2}
Agora resolvo o sistema simples formado por (1) e (2).

Passo 8

Resolve-se o sistema:
\begin{cases} 2A + B = \tfrac{1}{2},\\[4pt] 8A + B = 0. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
(2A+ B) - (8A + B) = \tfrac{1}{2} - 0 \quad\Rightarrow\quad -6A = \tfrac{1}{2}.
Logo
A = -\tfrac{1}{12}.
Usando (2),
B = -8A = -8\left(-\tfrac{1}{12}\right) = \tfrac{8}{12} = \tfrac{2}{3}.
Então pelas relações de simetria:
C = 0,\qquad D = -B = -\tfrac{2}{3},\qquad E = -A = \tfrac{1}{12}.]

Passo 9

Escrevo a fórmula final substituindo A,B,C,D,E e fatorando um denominador comum para ficar bonito (multiplicando numerador e denominador por 12):
Os coeficientes em frações:
A=-\tfrac{1}{12},\quad B=\tfrac{8}{12},\quad C=0,\quad D=-\tfrac{8}{12},\quad E=\tfrac{1}{12}.
Portanto a aproximação é
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{-\tfrac{1}{12}f(x+2h)+\tfrac{8}{12}f(x+h)-\tfrac{8}{12}f(x-h)+\tfrac{1}{12}f(x-2h)}{h},
que multiplicando numerador e denominador por 12 (e voltando a h=\Delta_{x}) dá a forma clássica
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{-f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+8 f\left(x+\Delta_{x}\right)-8 f\left(x-\Delta_{x}\right)+f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{12 \Delta_{x}}.

Passo 10

Agora checagem da ordem do erro (por que é de quarta-ordem):
  • O próximo termo não nulo na expansão de N aparece associado a f^{(5)}(x). Calculamos seu coeficiente (usando as relações entre A,B,D,E):
\text{coeficiente de }h^{5}f^{(5)}(x)\\ \text{em }N = \frac{1}{120}\big(32A + B - D - 32E\big).
Com D=-B e E=-A isso se torna
\frac{1}{120}\big(32A + 2B + 32A\big) = \frac{1}{120}\big(64A + 2B\big).
Substituindo B=-8A produz 64A+2(-8A)=64A-16A=48A. Como A=-\tfrac{1}{12}, obtemos 48A=-4. Então o coeficiente é -4/120=-1/30.
  • Portanto N = h f'(x) - \tfrac{1}{30} h^{5} f^{(5)}(x) + \mathcal{O}(h^{7}).
  • Dividindo por h resulta
\frac{N}{h} = f'(x) - \frac{1}{30} h^{4} f^{(5)}(x) + \mathcal{O}(h^{6}).
Logo o erro dominante é proporcional a h^{4}, ou seja, a aproximação tem ordem quatro.

Resposta

\displaystyle \frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{-f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+8 f\left(x+\Delta_{x}\right)-8 f\left(x-\Delta_{x}\right)+f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{12 \Delta_{x}}\n
Quarta-ordem

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