O que o enunciado pede: calcular a série de Taylor de f(x)=\dfrac{1}{x} em torno de x=1.
Informações dadas e fórmulas úteis que temos que usar: a expansão de Taylor centrada em a=1 é
e os coeficientes são a_n=\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}. Neste passo apenas identifiquei o pedido e as expressões que vamos usar; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas de f(x)=x^{-1} explicitamente para ver o padrão.
Derivada de ordem 0:
f(x)=x^{-1}.
Derivada de ordem 1:
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\;x^{-2}.
Derivada de ordem 2:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-x^{-2})=2\;x^{-3}.
Derivada de ordem 3:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(2x^{-3})=-6\;x^{-4}.
Observando: os coeficientes numéricos são 1,-1,2,-6,\ldots que parecem ser (-)^n n!. Agora vamos provar essa fórmula geral.
Passo 3
Prova por indução do padrão geral. Proposição: para todo inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\;x^{-(n+1)}.
Base n=0: f^{(0)}(x)=x^{-1}=(-1)^{0}0!\;x^{-1}, certo.
Passo indutivo: suponha que f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\;x^{-(n+1)}. Então