Calcule a série de Taylor da função f(x)=1 / x em torno de x=1.
Solução:
\begin{aligned} & \quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}\right], \text { com } a=1 . \\\ & f(x)=a_{0}(x-a)^{0}+a_{1}(x-a)^{1}+a_{2}(x-a)^{2}+a_{3}(x-a)^{3}+a_{4}(x-a)^{4}+a_{5}(x-a)^{5}+\ldots \\\ & \therefore \\\ & f(x)=a_{0}+a_{1}(x-1)^{1}+a_{2}(x-1)^{2}+a_{3}(x-1)^{3}+a_{4}(x-1)^{4}+a_{5}(x-1)^{5}+\ldots \end{aligned}
Sabendo que a_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}, temos
f(x)=\frac{1}{x} ;
a_{n}=\frac{f^{(n)}(a)}{n!} ;
\therefore
a_{0}=\frac{f^{(0)}(1)}{0!}=\frac{1}{0!} f(1)=\frac{1}{1} 1 / 1=1
a_{1}=\frac{f^{(1)}(1)}{1!}=\left.\frac{1}{1!} \frac{d x^{-1}}{d x}\right|_{x=1}=-\left.x^{-2}\right|_{x=1}=-1
a_{2}=\frac{f^{(2)}(1)}{2!}=\left.\frac{1}{2!} \frac{d^{2} x^{-1}}{d x^{2}}\right|_{x=1}=\left.\frac{1}{2!} 2 x^{-3}\right|_{x=1}=1
a_{3}=\frac{f^{(3)}(1)}{3!}=\left.\frac{1}{3!} \frac{d^{3} x^{-1}}{d x^{3}}\right|_{x=1}=\frac{1}{3!} 2 .\left.(-3) x^{-4}\right|_{x=1}=-1
a_{4}=\frac{f^{(4)}(1)}{4!}=\left.\frac{1}{4!} \frac{d^{4} x^{-1}}{d x^{4}}\right|_{x=1}=\left.\frac{1}{4!} 2 \cdot(-3)(-4) x^{-5}\right|_{x=1}=1
a_{5}=\frac{f^{(5)}(1)}{5!}=\left.\frac{1}{5!} \frac{d^{5} x^{-1}}{d x^{5}}\right|_{x=1}=\frac{1}{5!} 2 .\left.(-3)(-4)(-5) x^{-6}\right|_{x=1}=-1.
Ou seja, como
\begin{array}{r} f(x)=\frac{1}{x}=a_{0}+a_{1}(x-1)^{1}+a_{2}(x-1)^{2}+a_{3}(x-1)^{3}+a_{4}(x-1)^{4}+a_{5}(x-1)^{5}+\ldots, \text { temos } \\\ \frac{1}{x}=1-1 \cdot(x-1)^{1}+1 \cdot(x-1)^{2}-1 \cdot(x-1)^{3}+1 \cdot(x-1)^{4}-1 \cdot(x-1)^{5}+\cdots \end{array}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a série de Taylor de f(x)=\dfrac{1}{x} em torno de x=1.
Informações dadas e fórmulas úteis que temos que usar: a expansão de Taylor centrada em a=1 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^{n},
e os coeficientes são a_n=\dfrac{f^{(n)}(1)}{n!}. Neste passo apenas identifiquei o pedido e as expressões que vamos usar; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas de f(x)=x^{-1} explicitamente para ver o padrão.
Derivada de ordem 0:
f(x)=x^{-1}.
Derivada de ordem 1:
f'(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\;x^{-2}.
Derivada de ordem 2:
f''(x)=\frac{d}{dx}(-x^{-2})=2\;x^{-3}.
Derivada de ordem 3:
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(2x^{-3})=-6\;x^{-4}.
Observando: os coeficientes numéricos são 1,-1,2,-6,\ldots que parecem ser (-)^n n!. Agora vamos provar essa fórmula geral.

Passo 3

Prova por indução do padrão geral. Proposição: para todo inteiro n\ge 0,
f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\;x^{-(n+1)}.
Base n=0: f^{(0)}(x)=x^{-1}=(-1)^{0}0!\;x^{-1}, certo.
Passo indutivo: suponha que f^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!\;x^{-(n+1)}. Então
f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\bigl((-1)^{n} n!\;x^{-(n+1)}\bigr) =(-1)^{n} n!\;(-(n+1))x^{-(n+2)}.
Rearranjando,
f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}(n+1)!\;x^{-(n+2)},
que é a forma desejada para n+1. Assim a fórmula vale para todo n.

Passo 4

Agora calculemos os coeficientes a_n da série de Taylor usando a fórmula encontrada:
a_n=\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{n} n!\;1^{-(n+1)}}{n!}=(-1)^{n}.
Portanto cada coeficiente é simplesmente a_n=(-1)^{n}.

Passo 5

Escrevendo a série com esses coeficientes:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}.
Podemos ver isso também como uma série geométrica: se definirmos h=x-1, então f(x)=\dfrac{1}{1+h} e a expansão geométrica é
\frac{1}{1+h}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}h^{n},
quando |h|<1. Voltando a x, obtemos a mesma forma acima.

Passo 6

Convergência e raio de convergência: como é uma série geométrica com razão -(x-1), ela converge exatamente quando
|x-1|<1.
Logo o raio de convergência é R=1 e a expansão é válida para x\in(0,2) (ou seja, todos x com |x-1|<1).

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para fixar: com x=1,1 temos h=0,1 e a soma parcial
1-0,1+0,01-0,001=0,909\ldots
que aproxima 1/1{,}1\approx0{,}90909, mostrando que a série aproxima bem a função dentro do intervalo de convergência.

Resposta

\frac{1}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(x-1)^{n}\quad\text{para }\;|x-1|<1

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