Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
(g) x ln (x)-14=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar uma raiz da equação
xln(x)-14=0
com erro menor que f'(x)=ln(x)+1 , usando dois métodos numéricos (bisseção e Newton) e depois comparar quantas iterações cada um precisou.
Conteúdo: Métodos de aproximação de raízes.
O que vamos precisar:
  1. Definir .
  2. Para bisseção, achar um intervalo onde e têm sinais opostos.
  3. Para Newton, usar a derivada

Passo 2

Aplicando o método da bisseção
  1. Primeiro a gente procura um intervalo b-a2^nlog2!l(b-avarepsilonr) =log2!l(9times10^6r)approx23,1 com mudança de sinal:

    • Então a raiz está entre e .
  2. A regra da bisseção é: em cada iteração dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda.
    • Tamanho inicial: .
    • Pra garantir erro menor que , precisamos de
    • Logo, iterações são suficientes.
  3. Ao final das 24 iterações, o ponto médio do intervalo é nossa aproximação
    .

Passo 3

Aplicando o método de Newton
  1. A fórmula de iteração de Newton é
    xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - xnln(xn)-14ln(xn)+1
  2. Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo f(7)=-0,379, f'(7)=ln(7)+1approx2,946 ;Longrightarrow; x1=7-(-0,379)/2,946approx7,1287 .
    • Iteração 1: f(x1)approx-7,2times10^-4,; f'(x1)approx2,964;Longrightarrow; x2approx7,12891
    • Iteração 2: f(x2)approx7,8times10^-7 ;Longrightarrow; x3approx7,1289097,
    • Iteração 3: e já temos .
  3. O método de Newton convergiu em 3 iterações.

Resposta

Raiz aproximada:
xapprox7,1289097
Iterações necessárias:
  • Bisseção: 24 iterações
  • Newton: 3 iterações

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