Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar uma raiz da equação
com erro menor que
, usando dois métodos numéricos (bisseção e Newton) e depois comparar quantas iterações cada um precisou.
Conteúdo: Métodos de aproximação de raízes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Métodos de aproximação de raízes.
O que vamos precisar:
- Definir
. - Para bisseção, achar um intervalo
onde e têm sinais opostos. - Para Newton, usar a derivada
Passo 2
Aplicando o método da bisseção
-
Primeiro a gente procura um intervalo
com mudança de sinal: -
-
Então a raiz está entree .
-
-
A regra da bisseção é: em cada iteração dividimos o intervalo ao meio e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda.
- Tamanho inicial:
. - Pra garantir erro menor que
, precisamos de - Logo,
iterações são suficientes.
- Tamanho inicial:
-
Ao final das 24 iterações, o ponto médio do intervalo é nossa aproximação
.
Passo 3
Aplicando o método de Newton
-
A fórmula de iteração de Newton é
-
Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo
. - Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
e já temos .
- Iteração 1:
-
O método de Newton convergiu em 3 iterações.
Resposta
Raiz aproximada:
Iterações necessárias:
- Bisseção: 24 iterações
- Newton: 3 iterações