Proposição 2.4. Para todo ponto, existe pelo menos uma reta que nảo incide sobre ele.
Demonstracaio. (1) Suponhamos que exista um ponto
tal que todas as retas são incidentes com ele. (Hipótese RAA)
(2) Pelo passo (1), todas as retas são concorrentes.
(3) Pela Proposição 2.2 existem três retas distintas que não são concorrentes, contradizendo o afirmado no passo (2).
(4) Logo, por RAA temos que não existe ponto
tal que todas as retas incidem sobre ele.
(5) Pela Regra Lógica 6, a conclusão do passo (4), é equivalente a: para todo ponto
existe pelo menos uma reta que não incide sobre ele.
(2) Pelo passo (1), todas as retas são concorrentes.
(3) Pela Proposição 2.2 existem três retas distintas que não são concorrentes, contradizendo o afirmado no passo (2).
(4) Logo, por RAA temos que não existe ponto
(5) Pela Regra Lógica 6, a conclusão do passo (4), é equivalente a: para todo ponto
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar a Proposição 2.4 – “Para todo ponto existe pelo menos uma reta que não incide sobre ele.”
Conteúdo: Geometria de incidência e lógica (prova por contradição, ou RAA).
O que vamos usar:
Conteúdo: Geometria de incidência e lógica (prova por contradição, ou RAA).
O que vamos usar:
- Prova por Reductio ad Absurdum (RAA): supomos o contrário e levamos a uma contradição.
- Proposição 2.2: “Existem três retas distintas que não são concorrentes” (ou seja, que não têm um ponto comum).
- Regra lógica de equivalência: ¬∃P ≡ ∀P¬.
Passo 2
Vamos começar a prova por RAA. Ou seja, supor que a afirmação que queremos provar seja falsa:
Hipótese (RAA): existe um ponto
tal que todas as retas incidem em
.
Passo 3
Pela hipótese, qualquer reta do plano passa por
. Em linguagem de incidência isso significa que todas as retas são concorrentes em
.
Passo 4
Mas a Proposição 2.2 nos garante que existem três retas distintas
que não são concorrentes, isto é, não há ponto comum às três.
Isso contradiz diretamente a nossa hipótese de que “todas as retas são concorrentes em
”.
Passo 5
Como chegamos a uma contradição, concluímos pela RAA que a hipótese inicial é falsa. Logo:
Não existe ponto
ao qual todas as retas incidam.
Passo 6
Aplicando a equivalência lógica ¬∃
(“todas as retas incidem em
”) ≡ ∀
¬(“todas as retas incidem em
”), obtemos exatamente:
Para todo ponto
, existe pelo menos uma reta que não incide sobre ele.
Resposta
Portanto, está demonstrado que