Considere a equação 4 x-7 sin (x)=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício manda fazer: a equação é
4x - 7sin(x) = 0
A parada é em três partes:
  1. Encontrar/“isolar” as raízes dessa equação.
  2. Escolher um intervalo pra uma dessas raízes e ver quantas iterações do método da bissecção a gente precisa pra ter erro menor que .
  3. Agora calcular de fato uma solução com erro menor que usando os métodos que a gente estudou (bissecção e Newton, por exemplo) e comparar quantas iterações cada um gasta.
Conteúdo usado:
  • Teorema do Valor Intermediário pra garantir existência de raízes e isolar intervalos.
  • Método da Bissecção (fatiar o intervalo ao meio repetidas vezes) e sua fórmula de erro
  • Método de Newton (usando )
Não vou assumir que você já manja de nada — vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Localizando e isolando as raízes:
  1. Defino x = 0, x approx +1.728, xapprox -1.728 .
  2. Vejo que é ímpar e também, então é ímpar: .
  3. Logo, se é raiz (pois ), então as raízes vêm simetricamente em .
  4. Note que , então só pode igualar enquanto . Fora desse intervalo não tem raiz.
  5. Pra achar a raiz positiva, uso o Teorema do Valor Intermediário:
    • .
    • .
      Assim tem raiz em .
  6. Com refinamento rápido de valor médio e olha sin/x, a gente acha aproximado .
    Então as três raízes são
E isolei a positiva em, por exemplo, .

Passo 3

Número de iterações da bissecção para erro < b-a2^N < varepsilon :
No método da bissecção, se inicio em 0.12^N < 10^-4 Longrightarrow 2^N > 0.110^-4 = 10^3 Longrightarrow N > log2(10^3) approx 9.97 , o erro máximo após iterações é
Aqui tem e .
Então preciso de
Logo iterações garantem erro menor que .

Passo 4

Agora a parte 3) calcula a solução com erro < 2^N > 0.110^-6 = 10^5 Longrightarrow N > log2(10^5)approx16.61 e compara bissecção × Newton:
  1. Bissecção pra f(x)=4x-7sin(x), f'(x)=4-7cos(x), :
    Mesma conta, mas agora f(1.7)approx -0.142, f'(1.7)approx4.917 Longrightarrow x1 = 1.7 - -0.1424.917 approx 1.7289 , então
    f(1.7289)approx 0.00327, f'(1.7289)approx5.094 Longrightarrow x2 = 1.7289 - 0.003275.094approx1.72824
    Aí precisa f(1.72824)approx -8.5times10^-6, x3 approx 1.72827, iterações.
  2. Newton — definindo
    e escolhendo :
    • Iteração 1:
    • Iteração 2:
    • Iteração 3: que já tá dentro de de erro.
Newton levou só 3 iterações pra chegar em .

Resposta

  1. As raízes de x = 0, xapprox +1.728, xapprox -1.728 são
  2. Para a raiz positiva em , o método da bissecção precisa de iterações pra ter erro < .
  3. Para erro < :
    • Bissecção: iterações.
    • Newton: iterações.

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