Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício manda fazer: a equação é
A parada é em três partes:
- Encontrar/“isolar” as raízes dessa equação.
- Escolher um intervalo pra uma dessas raízes e ver quantas iterações do método da bissecção a gente precisa pra ter erro menor que
. - Agora calcular de fato uma solução com erro menor que
usando os métodos que a gente estudou (bissecção e Newton, por exemplo) e comparar quantas iterações cada um gasta.
Conteúdo usado:
- Teorema do Valor Intermediário pra garantir existência de raízes e isolar intervalos.
- Método da Bissecção (fatiar o intervalo ao meio repetidas vezes) e sua fórmula de erro
- Método de Newton (usando
)
Não vou assumir que você já manja de nada — vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Localizando e isolando as raízes:
- Defino
. - Vejo que
é ímpar e também, então é ímpar: . - Logo, se
é raiz (pois ), então as raízes vêm simetricamente em . - Note que
, então só pode igualar enquanto . Fora desse intervalo não tem raiz. - Pra achar a raiz positiva, uso o Teorema do Valor Intermediário:
-
. -
.
Assim tem raiz em.
-
- Com refinamento rápido de valor médio e olha sin/x, a gente acha aproximado
.
Então as três raízes são
E isolei a positiva em, por exemplo,
.
Passo 3
Número de iterações da bissecção para erro <
:
No método da bissecção, se inicio em , o erro máximo após
iterações é
No método da bissecção, se inicio em
Aqui
tem
e
.
Então preciso de
Então preciso de
Logo
iterações garantem erro menor que
.
Passo 4
Agora a parte 3) calcula a solução com erro <
e compara bissecção × Newton:
-
Bissecção pra
:
Mesma conta, mas agora, então Aí precisaiterações. -
Newton — definindoe escolhendo
: - Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
que já tá dentro de de erro.
- Iteração 1:
Newton levou só 3 iterações pra chegar em
.
Resposta
- As raízes de
são - Para a raiz positiva em
, o método da bissecção precisa de iterações pra ter erro < . - Para erro <
: - Bissecção:
iterações. - Newton:
iterações.
- Bissecção: