Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
O enunciado pede para a equação
1) Encontrar (isolar) a(s) raiz(es).
2) Usar o método da bissecção para achar quantas iterações são necessárias de modo que o erro seja menor que
3) Calcular a raiz com erro menor que
Matéria envolvida: métodos numéricos de raiz (bissecção e Newton). Vamos precisar de:
- Noção de sinal de função para isolar a raiz.
- Fórmula do número de iterações na bissecção:
- Fórmula de Newton:
com .
Passo 2
Primeiro, vamos achar um intervalo
em que
e
tenham sinais opostos (é o fundamento da bissecção).
- Testa em
: - Testa em
:
Logo,
e
, então existe uma raiz em
.
Passo 3
Para garantir erro menor que
com bissecção, usamos
Como
tem que ser inteiro e “arredondado para cima”, precisamos de
iterações de bissecção para obter erro menor que
.
Passo 4
Agora, queremos erro
.
– Bissecção:
– Newton (iniciando em
):
-
. -
CalculaEntão
-
Repetindo, achamose nesse ponto
.
Newton levou 3 iterações para chegar ao erro pedido.
Resposta
- Há uma única raiz em
. - Bissecção p/erro
: 14 iterações. - Para erro
: - Bissecção: 20 iterações.
- Newton: 3 iterações.