Considere a equação x^x+2 x-6=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

O enunciado pede para a equação
f(x)=x^x+2x-6=0
1) Encontrar (isolar) a(s) raiz(es).
2) Usar o método da bissecção para achar quantas iterações são necessárias de modo que o erro seja menor que N >= log((b-a)/varepsilon)log 2.
3) Calcular a raiz com erro menor que xn+1=xn - f(xn)f'(xn), usando os métodos que vimos (bissecção e Newton, por exemplo) e comparar quantas iterações cada um gasta.
Matéria envolvida: métodos numéricos de raiz (bissecção e Newton). Vamos precisar de:
  • Noção de sinal de função para isolar a raiz.
  • Fórmula do número de iterações na bissecção:
  • Fórmula de Newton: com .

Passo 2

Primeiro, vamos achar um intervalo f(1)=1^1+2cdot1-6=1+2-6=-3 em que f(2)=2^2+2cdot2-6=4+4-6=2 e tenham sinais opostos (é o fundamento da bissecção).
  • Testa em :
  • Testa em :
Logo, e , então existe uma raiz em .

Passo 3

Para garantir erro menor que N >= logl((b-a)/varepsilonr)log 2 = logl((2-1)/10^-4r)log 2 = log(10^4)log 2 approx 4ln 10ln 2approx 13,3 com bissecção, usamos
N = 14
Como tem que ser inteiro e “arredondado para cima”, precisamos de
iterações de bissecção para obter erro menor que .

Passo 4

Agora, queremos erro Nrm bis >= logl((2-1)/10^-6r)log 2 = log(10^6)log 2 approx 19,9Longrightarrow Nrm bis=20 .
– Bissecção:
f(1.5)=1.5^1.5+3-6approx -1.1629, f'(1.5)=1.5^1.5(ln1.5+1)+2approx4.583
– Newton (iniciando em x1=1.5 - -1.16294.583approx1.7537):
  1. x2approx1.7233, x3approx1.7232, .
  2. Calcula
    Então
  3. Repetindo, achamos
    e nesse ponto .
Newton levou 3 iterações para chegar ao erro pedido.

Resposta

  1. Há uma única raiz em .
  2. Bissecção p/erro : 14 iterações.
  3. Para erro :
    • Bissecção: 20 iterações.
    • Newton: 3 iterações.

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