Calcule a soma de Riemann para
tomando como pontos amostrais as extremidades direitas e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo envolvendo soma de Riemann. A função que a gente vai trabalhar é $ f(x) = x^{3} - 6x $. A gente precisa calcular a soma de Riemann no intervalo de $ a = 0 $ até $ b = 3 $, dividindo esse intervalo em $ n = 6 $ subintervalos. Além disso, vamos usar os pontos finais à direita de cada subintervalo como pontos amostrais para calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Imagine que queremos calcular a área sob a curva de uma função entre dois pontos. A soma de Riemann aproxima essa área dividindo o intervalo em vários retângulos e somando as áreas desses retângulos. O jeito de escolher pontos dentro de cada subintervalo (como a esquerda, direita ou o ponto médio) altera a altura dos retângulos.
Passo 3
Como nosso intervalo vai de $ a = 0 $ até $ b = 3 $ e temos $ n = 6 $ subintervalos, vamos calcular a largura de cada subintervalo, que é chamada de $ \Delta x $. A fórmula para $ \Delta x $ é:
Substituindo os valores:
Então, cada subintervalo tem largura de 0,5 unidades.
Passo 4
Agora, como vamos usar os pontos finais à direita, precisamos determinar os $ x_i $ para cada subintervalo. Os pontos $ x_i $ são os pontos onde vamos avaliar a função $ f(x) $. Para cada subintervalo $ i $, o ponto final à direita é dado por:
Vamos calcular esses pontos para $ i = 1 $ até $ i = 6 $:
Passo 5
Com os pontos $ x_i $ definidos, vamos agora calcular o valor da função $ f(x) = x^{3} - 6x $ em cada um desses pontos:
Passo 6
Agora, para calcular a soma de Riemann usando os pontos à direita, multiplicamos cada valor de $ f(x_i) $ por $ \Delta x $ e somamos tudo:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Vamos somar os valores dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
A soma de Riemann para $ f(x) = x^{3} - 6x $ no intervalo de 0 a 3, com 6 subintervalos e usando os pontos finais à direita, é -4,25.