Calcule a soma de Riemann para f(x)=x^3-6 x tomando como pontos amostrais as extremidades direitas e a=0, b=3 e n=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo envolvendo soma de Riemann. A função que a gente vai trabalhar é $ f(x) = x^{3} - 6x $. A gente precisa calcular a soma de Riemann no intervalo de $ a = 0 $ até $ b = 3 $, dividindo esse intervalo em $ n = 6 $ subintervalos. Além disso, vamos usar os pontos finais à direita de cada subintervalo como pontos amostrais para calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. Imagine que queremos calcular a área sob a curva de uma função entre dois pontos. A soma de Riemann aproxima essa área dividindo o intervalo em vários retângulos e somando as áreas desses retângulos. O jeito de escolher pontos dentro de cada subintervalo (como a esquerda, direita ou o ponto médio) altera a altura dos retângulos.

Passo 3

Como nosso intervalo vai de $ a = 0 $ até $ b = 3 $ e temos $ n = 6 $ subintervalos, vamos calcular a largura de cada subintervalo, que é chamada de $ \Delta x $. A fórmula para $ \Delta x $ é:
a = 0
Substituindo os valores:
b = 3
Então, cada subintervalo tem largura de 0,5 unidades.

Passo 4

Agora, como vamos usar os pontos finais à direita, precisamos determinar os $ x_i $ para cada subintervalo. Os pontos $ x_i $ são os pontos onde vamos avaliar a função $ f(x) $. Para cada subintervalo $ i $, o ponto final à direita é dado por:
xi
Vamos calcular esses pontos para $ i = 1 $ até $ i = 6 $:
xi
f(x)
i
xi = a + i cdot De
i = 1
i = 6

Passo 5

Com os pontos $ x_i $ definidos, vamos agora calcular o valor da função $ f(x) = x^{3} - 6x $ em cada um desses pontos:
xi
f(x) = x^3 - 6x
f(0,5) = (0,5)^3 - 6 cdot 0,5 = 0,125 - 3 = -2,875
f(1,0) = (1,0)^3 - 6 cdot 1,0 = 1 - 6 = -5
f(1,5) = (1,5)^3 - 6 cdot 1,5 = 3,375 - 9 = -5,625
f(2,0) = (2,0)^3 - 6 cdot 2,0 = 8 - 12 = -4

Passo 6

Agora, para calcular a soma de Riemann usando os pontos à direita, multiplicamos cada valor de $ f(x_i) $ por $ \Delta x $ e somamos tudo:
f(xi)
Substituindo os valores que calculamos:
De

Passo 7

Vamos somar os valores dentro dos colchetes:
-2,875 - 5 - 5,625 - 4 + 0,625 + 9 = -8,5
Então:
Soma de Riemann = 0,5 cdot (-8,5) = -4,25

Resposta

A soma de Riemann para $ f(x) = x^{3} - 6x $ no intervalo de 0 a 3, com 6 subintervalos e usando os pontos finais à direita, é -4,25.

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