Determine as primeiras três iterações do Método de Jacobi para o seguinte sistema linear, começando .
Meça o erro envolvido ( |x^3-x^2|infty ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Jacobi. A gente precisa fazer as primeiras três iterações começando com $ x^{0} = 0 $. Além disso, vamos medir o erro entre a terceira e a segunda iteração usando a norma infinita. Para isso, vamos precisar entender como o Método de Jacobi funciona e aplicar isso passo a passo ao sistema dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema isolando cada variável. O Método de Jacobi funciona atualizando todas as variáveis simultaneamente com base nos valores da iteração anterior. Como nosso ponto de partida é $ x^{0} = 0 $, todas as variáveis iniciais são zero.
Vamos isolar cada variável:
Para $ x_1 $: x^0 = 0
Para $ x_2 $: x1
Para $ x_3 $: x1 = 6 - x2 - x3 - x54
Para $ x_4 $: x2
Para $ x_5 $: x2 = 6 + x1 - x3 - x4-3
Passo 3
Agora, vamos iniciar as iterações. Lembrando que $ x^{0} = [0, 0, 0, 0, 0] $.
Agora, vamos calcular o erro $ \left|\mathrm{x}^{3} - \mathrm{x}^{2}\right|_{\infty} $. A norma infinita é o maior valor absoluto entre as diferenças correspondentes das componentes.
|x^3 - x^2|infty
Calculando cada diferença:
$ |0.89375 - 1.325| = 0.43125 $
$ |-1.0167 + 1.6| = 0.5833 $
$ |1.61 - 1.6| = 0.01 $
$ |1.83125 - 1.675| = 0.15625 $
$ |2.03125 - 2.425| = 0.39375 $
O maior valor é $ 0.5833 $.
Resposta
Depois de três iterações do Método de Jacobi, temos: