Determine as primeiras três iterações do Método de Jacobi para o seguinte sistema linear, começando x^0=0.
l 4 x1+x2+x3+x5= 6 -x1-3 x2+x3+x4= 6 2 x1+x2+5 x3-x4-x5= 6 -x1-x2-x3+4 x4=6 2 x2-x3+x4+4 x5= 6
Meça o erro envolvido ( |x^3-x^2|infty ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Jacobi. A gente precisa fazer as primeiras três iterações começando com $ x^{0} = 0 $. Além disso, vamos medir o erro entre a terceira e a segunda iteração usando a norma infinita. Para isso, vamos precisar entender como o Método de Jacobi funciona e aplicar isso passo a passo ao sistema dado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema isolando cada variável. O Método de Jacobi funciona atualizando todas as variáveis simultaneamente com base nos valores da iteração anterior. Como nosso ponto de partida é $ x^{0} = 0 $, todas as variáveis iniciais são zero.
Vamos isolar cada variável:
  1. Para $ x_1 $: x^0 = 0
  2. Para $ x_2 $: x1
  3. Para $ x_3 $: x1 = 6 - x2 - x3 - x54
  4. Para $ x_4 $: x2
  5. Para $ x_5 $: x2 = 6 + x1 - x3 - x4-3

Passo 3

Agora, vamos iniciar as iterações. Lembrando que $ x^{0} = [0, 0, 0, 0, 0] $.
Primeira iteração ($ x^{1} $):
  1. Calcular $ x_1^{1} $: x^0 = [0, 0, 0, 0, 0]
  2. Calcular $ x_2^{1} $: x^1
  3. Calcular $ x_3^{1} $: x1^1
  4. Calcular $ x_4^{1} $: x1^1 = 6 - 0 - 0 - 04 = 64 = 1.5
  5. Calcular $ x_5^{1} $: x2^1
Então, $ x^{1} = [1.5, -2, 1.2, 1.5, 1.5] $.

Passo 4

Segunda iteração ($ x^{2} $):
Usando $ x^{1} $:
  1. Calcular $ x_1^{2} $: x^2
  2. Calcular $ x_2^{2} $: x^1
  3. Calcular $ x_3^{2} $: x1^2
  4. Calcular $ x_4^{2} $: x1^2 = 6 - (-2) - 1.2 - 1.54 = 6 + 2 - 1.2 - 1.54 = 5.34 = 1.325
  5. Calcular $ x_5^{2} $: x2^2
Então, $ x^{2} = [1.325, -1.6, 1.6, 1.675, 2.425] $.

Passo 5

Terceira iteração ($ x^{3} $):
Usando $ x^{2} $:
  1. Calcular $ x_1^{3} $:
    x^3
  2. Calcular $ x_2^{3} $:
    x^2
    Arredondando, $ x_2^{3} \approx -1.0167 $.
  3. Calcular $ x_3^{3} $:
    x1^3
  4. Calcular $ x_4^{3} $:
    x1^3 = 6 - (-1.6) - 1.6 - 2.4254 = 6 + 1.6 - 1.6 - 2.4254 = 3.5754 = 0.89375
  5. Calcular $ x_5^{3} $:
    x2^3
Então, $ x^{3} = [0.89375, -1.0167, 1.61, 1.83125, 2.03125] $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o erro $ \left|\mathrm{x}^{3} - \mathrm{x}^{2}\right|_{\infty} $. A norma infinita é o maior valor absoluto entre as diferenças correspondentes das componentes.
|x^3 - x^2|infty
Calculando cada diferença:
  1. $ |0.89375 - 1.325| = 0.43125 $
  2. $ |-1.0167 + 1.6| = 0.5833 $
  3. $ |1.61 - 1.6| = 0.01 $
  4. $ |1.83125 - 1.675| = 0.15625 $
  5. $ |2.03125 - 2.425| = 0.39375 $
O maior valor é $ 0.5833 $.

Resposta

Depois de três iterações do Método de Jacobi, temos:
x^3 = 0.89375 -1.0167 1.61 1.83125 2.03125
E o erro medido é:
|x^3 - x^2|infty = 0.5833

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