Um pesquisador precisa avaliar
usando o polinômio
de Lagrange que interpola estes pontos. Todavia, ele precisa saber o erro máximo cometido com esta aproximação. Aponte a alternativa que fornece o erro máximo
.
0.5
1.5
2.5
0.4794
0.9975
0.5985
(A) 0.0033
(B) 0.0156
© 0.1875
(D) 0.0417
(E) 0.1250
(F) 0.0625
|
0.5 | 1.5 | 2.5 |
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0.4794 | 0.9975 | 0.5985 |
(B) 0.0156
© 0.1875
(D) 0.0417
(E) 0.1250
(F) 0.0625
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui. Temos uma função $ f(x) = \sin x $ e queremos avaliar $ f(2) = \sin 2 $ usando um polinômio de Lagrange de grau 2, chamado $ p_{2}(x) $, que interpola os pontos dados na tabela. Além disso, precisamos descobrir qual é o erro máximo que essa aproximação pode ter, ou seja, o valor de $ \left| p_{2}(2) - f(2) \right| $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Lagrange. É uma ferramenta usada para aproximar funções através de polinômios que passam exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. No nosso caso, temos três pontos: $ (0.5, 0.4794) $, $ (1.5, 0.9975) $ e $ (2.5, 0.5985) $. Como estamos usando um polinômio de grau 2, ele vai ajustar uma parábola que passa por esses três pontos.
Passo 3
Agora, para calcular o erro máximo da aproximação, usamos a fórmula do erro para polinômios de interpolação de Lagrange. A fórmula é:
Onde:
- $ M $ é o valor máximo da derivada de ordem $ n+1 $ da função $ f(x) $ no intervalo considerado.
- $ n $ é o grau do polinômio, que no nosso caso é 2.
- $ x_0, x_1, x_2 $ são os pontos de interpolação.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
Derivada de ordem 3 de $ f(x) $:O valor absoluto dessa derivada é $ |f’’’(x)| = |\cos x| $, que no intervalo considerado (entre 0.5 e 2.5) tem um máximo de 1. Portanto, $ M = 1 $.
-
Fatorial:
-
Produto dos termos $ (x - x_i) $ para $ x = 2 $:O valor absoluto desse produto é $ 0.375 $.
Passo 5
Agora, aplicando os valores na fórmula do erro:
Resposta
(F) 0.0625