Um pesquisador precisa avaliar f(2)=sin 2 usando o polinômio p2(x) de Lagrange que interpola estes pontos. Todavia, ele precisa saber o erro máximo cometido com esta aproximação. Aponte a alternativa que fornece o erro máximo |p2(x)-f(2)|.
cccc hline$xi$ & 0.5 & 1.5 & 2.5 $yi doteq f(xi)$ & 0.4794 & 0.9975 & 0.5985 hline 0.5 1.5 2.5
0.4794 0.9975 0.5985
(A) 0.0033
(B) 0.0156
© 0.1875
(D) 0.0417
(E) 0.1250
(F) 0.0625

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que precisa ser feito aqui. Temos uma função $ f(x) = \sin x $ e queremos avaliar $ f(2) = \sin 2 $ usando um polinômio de Lagrange de grau 2, chamado $ p_{2}(x) $, que interpola os pontos dados na tabela. Além disso, precisamos descobrir qual é o erro máximo que essa aproximação pode ter, ou seja, o valor de $ \left| p_{2}(2) - f(2) \right| $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Lagrange. É uma ferramenta usada para aproximar funções através de polinômios que passam exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. No nosso caso, temos três pontos: $ (0.5, 0.4794) $, $ (1.5, 0.9975) $ e $ (2.5, 0.5985) $. Como estamos usando um polinômio de grau 2, ele vai ajustar uma parábola que passa por esses três pontos.

Passo 3

Agora, para calcular o erro máximo da aproximação, usamos a fórmula do erro para polinômios de interpolação de Lagrange. A fórmula é:
| f(x) - p2(x) | <= M(n+1)! | (x - x0)(x - x1)(x - x2) |
Onde:
  • $ M $ é o valor máximo da derivada de ordem $ n+1 $ da função $ f(x) $ no intervalo considerado.
  • $ n $ é o grau do polinômio, que no nosso caso é 2.
  • $ x_0, x_1, x_2 $ são os pontos de interpolação.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Derivada de ordem 3 de $ f(x) $:
    f(x)
    O valor absoluto dessa derivada é $ |f’’’(x)| = |\cos x| $, que no intervalo considerado (entre 0.5 e 2.5) tem um máximo de 1. Portanto, $ M = 1 $.
  2. Fatorial:
    f(x) = sin x implies f'(x) = cos x implies f''(x) = -sin x implies f'''(x) = -cos x
  3. Produto dos termos $ (x - x_i) $ para $ x = 2 $:
    |f'''(x)| = |cos x|
    O valor absoluto desse produto é $ 0.375 $.

Passo 5

Agora, aplicando os valores na fórmula do erro:
| f(2) - p2(2) | <= 16 times 0.375 = 0.0625

Resposta

(F) 0.0625

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