Calcule a soma das séries abaixo.
(b) sumn=1^infty 9^-n 4^n+1;

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular
sumn=1^infty9^-n4^n+1
Conteúdo da matéria: séries geométricas infinitas.
O que vamos precisar: saber que, se |r|<1,
sumn=1^inftyr^n=r1-r

Passo 2

Reescrevendo o termo geral:
9^-n4^n+1 =4^n+1cdot19^n =4cdot4^ncdot(9^-1)^n =4l(49r)^n

Passo 3

Logo a soma vira
$$\sum_{n=1}{\infty}9{-n}4^{n+1}
=4\sum_{n=1}{\infty}\Bigl(\tfrac{4}{9}\Bigr)n. sumn=1^infty9^-n4^n+1 =4sumn=1^inftyl(tfrac49r)^néééãr=\frac{4}{9},\quad |r|<1,$$
então aplicamos
r=49, |r|<1,

Passo 4

Calculando:
sumn=1^inftyl(tfrac49r)^n =tfrac491-tfrac49 =4959 =45
Multiplicando pelo 4 que tava fora:
S=4cdot45=165

Resposta

165

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