Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.
( ) Sejam
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra a gente analisar a série
,
onde e
são polinômios inteiros e
.
Querem saber se “se o grau de for menor que o grau de
, então a série converge” é verdade ou mentira.
Conteúdo: séries numéricas e comportamento assintótico de quociente de polinômios.
Vamos precisar de:
onde
Querem saber se “se o grau de
Conteúdo: séries numéricas e comportamento assintótico de quociente de polinômios.
Vamos precisar de:
- comparar com séries do tipo
(séries -séries); - saber que, para polinômios, o quociente se comporta como
quando .
Passo 2
Primeiro, lembra da ideia de “grau”: se
e
, e
, então para
bem grande
onde
é uma constante não zero. Definindo
, dá
Passo 3
Agora entra a teoria das
-séries:
A série
A série
- converge se e só se
, - diverge quando
.
Passo 4
No nosso caso,
. A condição do enunciado só garante
, ou seja,
pode ser 1, 2, 3, etc.
- Se
, então converge e a nossa também. - Se
, caimos no caso , que é a famosa série harmônica — ela diverge.
Passo 5
Para “desmontar” de vez a afirmação, basta um contraexemplo simples:
Toma (
) e
(
).
Então
Toma
Então
que diverge. Isso mostra que mesmo com
a série pode não convergir.
Resposta
F (Falso).