Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então sumn=1^+infty p(n)q(n) converge.

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra a gente analisar a série
,
onde e são polinômios inteiros e .
Querem saber se “se o grau de for menor que o grau de , então a série converge” é verdade ou mentira.
Conteúdo: séries numéricas e comportamento assintótico de quociente de polinômios.
Vamos precisar de:
  • comparar com séries do tipo (séries -séries);
  • saber que, para polinômios, o quociente se comporta como quando .

Passo 2

Primeiro, lembra da ideia de “grau”: se p(n)q(n);approx;coeficiente líder de p;cdot n^mcoeficiente líder de q;cdot n^k ;=;C,n^m-k, e p(n)q(n);approx; Cn^d , e , então para bem grande
íí
onde é uma constante não zero. Definindo , dá

Passo 3

Agora entra a teoria das -séries:
A série
  • converge se e só se ,
  • diverge quando .

Passo 4

No nosso caso, . A condição do enunciado só garante , ou seja, pode ser 1, 2, 3, etc.
  • Se , então converge e a nossa também.
  • Se , caimos no caso , que é a famosa série harmônica — ela diverge.

Passo 5

Para “desmontar” de vez a afirmação, basta um contraexemplo simples:
Toma p(n)q(n)=1n Longrightarrow sumn=1^infty1n, ( ) e ( ).
Então
que diverge. Isso mostra que mesmo com a série pode não convergir.

Resposta

F (Falso).

Exercícios relacionados