Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais; para resolver, vamos primeiro obter as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente em
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de
. Derivando em relação a
(com
constante) e em relação a
(com
constante), obtemos
Passo 3
Derivamos
em relação a
para obter a segunda derivada em
. A derivada de
em relação a
é zero e a de
em relação a
é
, logo
Passo 4
Derivamos
em relação a
para obter a derivada mista
. A derivada de
em relação a
é 1 e a de
em relação a
é
, portanto
Pelo teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas), vale também
Passo 5
Derivamos
em relação a
para obter a segunda derivada em
. A derivada de
em relação a
é zero e a de
em relação a
é
, logo