Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x, y)=x y-e^x cdot cos y.

Passo 1

O enunciado pede todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x,y - e^xcos y
O conteúdo principal é cálculo de derivadas parciais; para resolver, vamos primeiro obter as derivadas de primeira ordem e depois derivar novamente em x e y.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de f. Derivando em relação a x (com y constante) e em relação a y (com x constante), obtemos
partial fpartial x(x,y)=y - e^xcos y,
partial fpartial y(x,y)=x + e^xsin y

Passo 3

Derivamos partial fpartial x em relação a x para obter a segunda derivada em x. A derivada de y em relação a x é zero e a de -e^xcos y em relação a x é -e^xcos y, logo
partial^2 fpartial x^2(x,y)=-e^xcos y

Passo 4

Derivamos partial fpartial x em relação a y para obter a derivada mista partial^2 fpartial ypartial x. A derivada de y em relação a y é 1 e a de -e^xcos y em relação a y é -e^x(-sin y)=e^xsin y, portanto
partial^2 fpartial ypartial x(x,y)=1+e^xsin y
Pelo teorema de Schwarz (igualdade das derivadas mistas), vale também
partial^2 fpartial xpartial y(x,y)=1+e^xsin y

Passo 5

Derivamos partial fpartial y em relação a y para obter a segunda derivada em y. A derivada de x em relação a y é zero e a de e^xsin y em relação a y é e^xcos y, logo
partial^2 fpartial y^2(x,y)=e^xcos y

Resposta

partial^2 fpartial x^2(x,y)=-e^xcos y
partial^2 fpartial xpartial y(x,y)=1+e^xsin y
partial^2 fpartial ypartial x(x,y)=1+e^xsin y
partial^2 fpartial y^2(x,y)=e^xcos y

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