Resolva o problema do valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos verificar se a forma
é exata, encontrar a função potencial tal que
e
, e então aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos verificar se a forma
é exata, encontrar a função potencial
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar. Diferenciando em relação a
:
Como
deve ser igual a
, temos
Passo 4
Assim, a função potencial é
e a solução implícita geral da equação é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Logo a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
Passo 6
Para obter
explicitamente, consideramos a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como na condição inicial, para
devemos ter
, escolhemos o sinal
, pois
.