Resolva o problema do valor inicial dado.
(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0 ; y(1)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(2x - y),dx + (2y - x),dy = 0
com condição inicial y(1)=3.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas: vamos verificar se a forma
!M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é exata, encontrar a função potencial psi(x,y) tal que
psix = M e psiy = N, e então aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x - y, N(x,y) = 2y - x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = -1
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
psix = M = 2x - y. Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - x,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Diferenciando em relação a y:
psiy = -x + h'(y)
Como psiy deve ser igual a N = 2y - x, temos
-x + h'(y) = 2y - x Longrightarrow h'(y) = 2y Longrightarrow h(y) = y^2 + C1

Passo 4

Assim, a função potencial é
psi(x,y) = x^2 - x,y + y^2,
e a solução implícita geral da equação é
psi(x,y) = C Longrightarrow x^2 - x,y + y^2 = C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=3:
1^2 - 1cdot3 + 3^2 = C Longrightarrow 1 - 3 + 9 = C Longrightarrow C = 7
Logo a solução implícita que satisfaz a condição inicial é
x^2 - x,y + y^2 = 7

Passo 6

Para obter y explicitamente, consideramos a equação quadrática em y:
y^2 - x,y + (x^2 - 7) = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
y = x pm raizx^2 - 4(x^2 - 7)2 = x pm raiz28 - 3x^22
Como na condição inicial, para x=1 devemos ter y(1)=3, escolhemos o sinal +, pois
1 + raiz28-32 = 1+52 = 3.

Resposta

y(x) = x + raiz28 - 3x^22

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