Use o Método de Jacobi e Gauss-Seidel para o sistema:
A=(aij)4 times 4[[[llll27 & 7 & -3 & 8] ;[llll-6 & 37 & 5 & 3] ;[llll5 & -1 & -19 & -2] ;[llll-3 & -4 & 8 & 26] *[[x1] ;
[ x2 ]; [ x3 ]; [ x4 ] ] ] = [[79]; [57]; [-126]; [234]]
Verifique a condição de convergência e calcule a tolerância mínima varepsilon para parar nos três primeiros passos de iteração.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
A x = b
com
A = 27 & 7 & -3 & 8 -6 & 37 & 5 & 3 5 & -1 & -19& -2 -3 & -4 & 8 & 26 , b = 7957-126234
Queremos aplicar os métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel, verificar a condição de convergência (domínio diagonal estrita) e, após três iterações, calcular a tolerância mínima
varepsilonk = |x^(k) - x^(k-1)|infty
para cada passo k=1,2,3.

Passo 2

Para convergência basta verificar que A é estritamente diagonal dominante por linha, ou seja, para cada i:
|aii| > sumjneq i |aij|
Checando rapidamente:
linha 1: 27 > 7 + 3 + 8 = 18,
linha 2: 37 > 6 + 5 + 3 = 14,
linha 3: 19 > 5 + 1 + 2 = 8,
linha 4: 26 > 3 + 4 + 8 = 15.
Logo ambos métodos convergem.

Passo 3

Para Jacobi escrevemos as fórmulas de iteração
x1^(k+1) &= 127l(79 -7,x2^(k) +3,x3^(k) -8,x4^(k)r), x2^(k+1) &= 137l(57 +6,x1^(k) -5,x3^(k) -3,x4^(k)r), x3^(k+1) &= 119l(126 +5,x1^(k) -1,x2^(k) -2,x4^(k)r), x4^(k+1) &= 126l(234 +3,x1^(k) +4,x2^(k) -8,x3^(k)r)
Com palpite inicial x^(0)=(0,0,0,0).

Passo 4

Executando três iterações de Jacobi e medindo
varepsilonk^(J)=|x^(k)-x^(k-1)|infty:
k=1:
x^(1)approx(2,9259,;1,5405,;6,6316,;9), varepsilon1^(J)=9
k=2:
x^(2)approx(0,5967,;0,3891,;6,3721,;7,5333), varepsilon2^(J)approx2,3292
k=3:
x^(3)approx(1,3009,;0,1654,;5,9762,;7,1673), varepsilon3^(J)approx0,7042

Passo 5

Para Gauss–Seidel usamos atualizações imediatas
x1^(k+1) &= 127l(79 -7,x2^(k) +3,x3^(k) -8,x4^(k)r), x2^(k+1) &= 137l(57 +6,x1^(k+1) -5,x3^(k) -3,x4^(k)r), x3^(k+1) &= 119l(126 +5,x1^(k+1) -1,x2^(k+1) -2,x4^(k)r), x4^(k+1) &= 126l(234 +3,x1^(k+1) +4,x2^(k+1) -8,x3^(k+1)r)
iniciando em x^(0)=(0,0,0,0).

Passo 6

Executando três iterações de Gauss–Seidel e medindo
varepsilonk^(GS)=|x^(k)-x^(k-1)|infty:
k=1:
x^(1)approx(2,9259,;2,0158,;7,2960,;7,4028), varepsilon1^(GS)approx7,4028
k=2:
x^(2)approx(1,0205,;0,1198,;6,1151,;7,2546), varepsilon2^(GS)approx1,9054
k=3:
x^(3)approx(1,4248,;0,3570,;6,2230,;7,3046), varepsilon3^(GS)approx0,4043

Resposta

Jacobi:
varepsilon1^(J)=9, varepsilon2^(J)approx2,3292, varepsilon3^(J)approx0,7042
Gauss–Seidel:
varepsilon1^(GS)approx7,4028, varepsilon2^(GS)approx1,9054, varepsilon3^(GS)approx0,4043

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