Um tanque contém 30 kg de sal dissolvido em 6000 L de água. Água salgada com 0,04 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 20 L / min. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Seja y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de t minutos. Observe que d yd t é a taxa de variação da quantidade de sal, assim,
d yd t=( taxa de entrada )-( taxa de saída )
Considerando a taxa de entrada igual a (0,04 kgL)(20 Lmin )=0,8 kgmin e que o tanque sempre contém 6000 L de líquido, então a concentração no tempo t é y(t)/ 6000 (medida em quilogramas por litro). Como a água salgada sai a uma taxa de 20 L / min, temos que a taxa de saída é (y(t)6000 cdot kgL) cdot(20 Lmin)=y(t)300 cdot kgmin
Considerando y(0)=30, qual é a quantidade aproximada de sal que permanece no tanque depois de meia hora?

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em que temos um tanque com volume constante de 6000 L, contendo inicialmente 30 kg de sal. Água salgada, com concentração de 0,04 kg/L, entra a 20 L/min e, após mistura completa, sai à mesma vazão. O objetivo é determinar a quantidade de sal y(t) no tanque após t minutos, em particular em t=30. O conteúdo envolve modelagem por equação diferencial linear de primeira ordem e resolução por fator integrante.

Passo 2

Montamos a equação diferencial usando
dydt = (taxa de entrada) - (taxa de saída) í
A taxa de entrada é
0,04;kgLtimes 20;Lmin = 0,8;kgmin,
e a taxa de saída, dado que a concentração no tempo t é y(t)6000,kg/L, é
y(t)6000;kgLtimes 20;Lmin = y(t)300;kgmin
Logo a ODE é
dydt = 0,8 - y300

Passo 3

Para resolver
dydt + 1300,y = 0,8,
calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral 1300,dt = e^t/300
Multiplicando a ODE por mu(t) obtemos
ddtl(y,e^t/300r) = 0,8,e^t/300
Integrando ambos os lados,
y,e^t/300 = 0,8integral e^t/300dt = 0,8cdot 300,e^t/300 + C = 240,e^t/300 + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=30, temos
30 = 240 + C Longrightarrow C = -210
Portanto a solução geral é
y(t) = 240 - 210,e^-t/300

Passo 5

Queremos y(30):
y(30) = 240 - 210,e^-30/300 = 240 - 210,e^-0,1

Passo 6

Aproximando e^-0,1approx 0,904837,
y(30) approx 240 - 210times 0,904837 approx 240 - 190,016 approx 49,984;kg

Resposta

Aproximadamente 50 kg de sal permanecem no tanque depois de meia hora.

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