Um tanque contém 30 kg de sal dissolvido em 6000 L de água. Água salgada com
de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa. Seja y(t) a quantidade de sal (em quilogramas) depois de
minutos. Observe que
é a taxa de variação da quantidade de sal, assim,
taxa de entrada
taxa de saída
Considerando a taxa de entrada igual a
e que o tanque sempre contém 6000 L de líquido, então a concentração no tempo t é y(t)/ 6000 (medida em quilogramas por litro). Como a água salgada sai a uma taxa de
, temos que a taxa de saída é
Considerando
, qual é a quantidade aproximada de sal que permanece no tanque depois de meia hora?
Considerando a taxa de entrada igual a
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em que temos um tanque com volume constante de
L, contendo inicialmente
kg de sal. Água salgada, com concentração de
kg/L, entra a
L/min e, após mistura completa, sai à mesma vazão. O objetivo é determinar a quantidade de sal
no tanque após
minutos, em particular em
. O conteúdo envolve modelagem por equação diferencial linear de primeira ordem e resolução por fator integrante.
Passo 2
Montamos a equação diferencial usando
A taxa de entrada é
e a taxa de saída, dado que a concentração no tempo
é
,kg/L, é
Logo a ODE é
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a ODE por
obtemos
Integrando ambos os lados,
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, temos
Portanto a solução geral é
Passo 5
Queremos
:
Passo 6
Aproximando
,
Resposta
Aproximadamente
kg de sal permanecem no tanque depois de meia hora.