Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x 1 raiz[4]x+1raizx-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1raiz[4]x+1raizx-1
Estamos na parte de Cálculo de Limites, usando propriedades de radicais e fatoração de expressões. Para resolver, a ideia é transformar essa fração num formato mais simples, eliminando a “diferença de radicais” no denominador por meio da fatoração de diferença de quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar a substituição direta :
  • Numerador: .
  • Denominador: .
    Logo a forma é , que não é uma indeterminação do tipo  — indica que o quociente “explode” (vira infinito ou menos infinito). Mas para ver direitinho o comportamento, é bom simplificar a expressão por fatoração.

Passo 3

Repare que
raizx - 1 = l(raiz[4]xr)^2 - 1^2
A diferença de quadrados diz que
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
Aqui, com raizx-1 = (raiz[4]x-1),(raiz[4]x+1) e raiz[4]x+1raizx-1 =raiz[4]x+1(raiz[4]x-1)(raiz[4]x+1) =1raiz[4]x-1, , temos
Substituindo isso na fração original:
desde que , o que vale em torno de .

Passo 4

Agora o limite fica
limxto11raiz[4]x-1
Quando , , então o denominador . Como o numerador é constante igual a 1, a fração tende a “1 dividido por algo muito pequeno”. O sinal desse “algo” pequeno muda conforme se aproxima por valores maiores ou menores que 1:
  • Se (um pouquinho maior que 1), é pequeno, então .
  • Se (um pouquinho menor que 1), é pequeno, então .

Resposta

O limite não converge a um número finito. De um lado ele vai para limxto1raiz[4]x+1raizx-1 e do outro para , logo
não existe (é divergente).

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